I. — FONCTIONS IMPLICITES- À AUS

on peut considérer les seconds membres comme des fonctions composées, 3 étant une fonction intermédiaire. On pourrait donc calculer les dérivées successives de proche en proche en appliquant la règle de différentiation des fonctions composées. L'existence de ces dérivées successives est d’ailleurs subordonnée à l'existence des dérivées partielles des différents ordres de la fonction F(x, y, LA

On obtient ces dérivées d’une façon plus simple en appliquant la proposition suivante : Lorsque-plusieurs fonctions d’une variable indépendante vérifient une. relation F=0, leurs dérivées vérifient la relation obtenue en égalant à séro la dérivée du premier membre, prise par la règle de difjérentiation des fonctions composées. Il est clair, en ellet, que, s1 la fonction F se réduit idéntiquement à zéro quand on y a remplacé les variables dont elle dépend par des fonctions de la variable indépendante, il en est de même de sa dérivée, Le théorème subsiste encore si les fonctions liées par la relation F — o dépendent de plusieurs variables indépendantes. FE

Cela posé, supposons d'abord qu'on veuille calculer les dérivées successives de la fonction implicite y de la seule variable x définie par la relation

E(æ, #) — O; on en déduit successivement oF of pese = 0!

ox d0Y 02F LUE SUCRE LE dx? ox à 7 dy? pire OV SAR AE POE 3F 3F Eds ALT à É 0x ox 0y” 0x 0y? 0x dy * 0e. à Ar IaUteS F LA dy dy? F7) 0Y M re

et l’on calculera ainsi de proche en proche y”, 3”, FLN

Exemple. — Étant dounée une fonction y = f(x), on peut inversement considérer y comme la variable indépendante et 7 comme une fonction de y définie par l'équation y = f(x) (1). Si la dérivée f'(æ)n’est pas nulle pour

(1) L'existence de la fonction inverse se démontre très simplement lorsque la fonction f (æ) va constamment en croissant ou en décroissant dans un intervalle. Soit, par exemple, y = f(æ) une fonction continue qui va constamment en

go CHAPITRE III.

la valeur #4, qui donne y5= f(æ0), il existe, d’après le théorème général, une fonction et une seule de y qui satisfait.à la relation y = f(æ it cuil prend la valeur x, pour y = y; c’est ce qu’on appelle la fonction inverse de f(x). Pour calculer les dérivées successives Lee By zys, ... de cette fonction, il suffit de différentier plusieurs fois de suite, en considérant YA comme la variable indépendante, ce qui nous donne

= fc)es, o=f"(&) (a) + f'(æ)aÿs,

! SFR x" — PT TE 1 0 M — 3 LP (7) AIRNESS 5 RE y$ WAVE

Il est à remarquer que ce système de formules ne change pas quand on per. mute x, et f(x), æ et f(x), æys et f"(æ),..., car la relation entre les deux fonctions y = f(x) et x = w(y) est évidemment réciproque. Pour donner une application de ces formules. supposons qu'on veuille obtenir toutes les fonctions y — f(æ) quisatisfont à la relation

viy ie” 3 y"? "0 \ Vi:

quand on prend y comme la variable indépendante, et x comme la fonc-

on, celte équation devient æ;:—o. Or, les seules fonctions dont las dérivée troisième soit nulle sont des polynomes, du second degré au plus. On aura donc, pour +, une expression de la forme à ee

T = Cy?+ Ci y + Ca,

Ci, Co, C3 étant trois constantes quelconques; en résolvant cette équation par rapport a y, on en conclut que toutes les fonctions non linéaires y=f(x) . a ——————— croissant de À à B lorsque x croit de a à b. À toute valeur de y comprise entre À et B correspond une valeur de æ et une seule comprise entre a et b (n° 8). Cette valeur de x est une fonction ?(Y), qui est elle-même croissante dans l’intervalle (A,B). C'est une Jonction continue. Soient, en effet, (z,, %4,1m un couple de valeurs correspondantes ; n étant un nombre positif tel que x, —n et Z +1 Soient compris entre a et b, soient Jo—<ety,+e les valeurs corres=« pondantes de y: si la valeur absolue de J —J, est inférieure au plus petit des deux nombres €, s', la valeur absolue de ZT — %, est inférieure à n. Si la fonc. tion f(x) va constamment en croissant de —% à + ou inversement, lorsque

æ croit de — © à + >, à toute valeur de J correspond une valeur de x et une. scule. Tel est le cas pour la fonction æ", n étant un nombre positif impair.