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et l’on calculérait de même les dérivées du troisième ordre et d'ordre plus élevé.

L'emploi des différentielles totales permet encore de déterminer en même temps toutes les dérivées partielles du même ordre. Il suffit pour cela de s'appuyer sur le thèorème suivant : Lorsque plusieurs fonctions u, 6, 4, ... d'un nombre quelconque de variables indépendantes x, y, 3, -.. vérifient une relation F — o, les différentielles totales satisfont à la relation dE — 0, obtenue en prenant la différentielle totale de F comme st toutes les variables dont elle dépend étaient des variables indépendantes. Pour le démontrer, supposons qu'on ait une relation F(u, v, wæ)—0, u, v, w étant des fonctions des variables indé-

92 CHAPITRE I. % pendantes x, y, 3, 4. Les dérivées partielles de w, ©, æ satisfont aux quatre équations

OF ou 0F oo OF ww —- ee

Ou 07 ‘ de 0x 0w 0x OF du oF EAU LE.

Ou y dw 07 0" OY SUR dE ou oF HSE te DU 0 DU PU D6Dc.0 5. 00 0F ou oF dv | OF 0w Pre Où DE T de An OF TES

multiplions-les respectivement par dx, dy, ds, dtet ajoutons-les, il vient f

Nous voyons encore ici l'avantage de la notation différentielle, car la relation précédente est indépendante du choix et du nombre des variables indépendantes. Pour avoir une relation entre les. différentielles du second ordre, il suffira d'appliquer le théorème général à la relation dF — 0, considérée commeune équation entre &, v, w, du, dv, dw, et ainsi de suite; on remplacera seulement par zéro toutes les différentielles d'ordre supérieur des variables qu’on a choisies pour variables indépendantes. #52

Appliquons ceci au calcul des différentielles totales successives de la fonction implicite définie par léquation (11), æ et y étant les variables indépendantes; il vient | 4

oF 0F 0F Be 0 No de ds = à 0F oF 0F @) 9F (dr + m Ÿ + ds) — d?3 =0)

RO ER SEE RS nc

et les deux premières de ces équalions peuvent remplacer les cinq relations (12) et (13); de l'expression de dz on déduit les deux dérivées du premier ordre, et de l'expression de d?z on déduit les trois dérivées du second ordre, etc. Considérons par exem] ét l'équation ‘à Ax?+ A'y2+ A2 1,

I. — FONCTIONS IMPLICITES. 93 qui donne, en différentiant deux fois,

A zx dx + A'y dy + A"zd3= 0, À dx®+ A’ dy?+ A" dz?+ A3 dd: =0; de la première on ture ; | Az dx + A'y dy ESS Are