AVAL VV V

et, en portant cette valeur de d3 dans la seconde, il vient

A(Azx?+ A"22) dx? 2 AÂ'x7y dx dy + A'(A'y?+ Az?) dy? RU AT ES

On aura donc, en employant la notation de Monge,

Ax A'y

FER METIER SEE MAL UACA RE AZI) AA'xv A'(A'y?+ A") D as ae

La méthode est évidemment générale, quel que soit le nombre des variables indépendantes et l’ordre des dérivées partielles qu'on veut calculer.

Exemple. — Soit 3 — f(x, y) une fonction des deux variables æ et y. Considérons, dans la relation précédente, y et z comme deux variables indépendantes, et æ comme une fonction implicite de ces deux variables ; proposons-nous de calculer les différentielles du premier et du second ordre dx et d?x. On a d’abord

d of d— ce se + 25 dy ; oc OV comme on prend y et 3 pour variables indépendantes, on doit supposer nulles d2y et d23, et, en prenant de nouveau la différentielle, il vient 0)

CFA PR à LR AE AE Pl er dx cer vi AE TS ge © + Se 4 #.

Ces équations peuvent s’écrire, en employant la notation abrégée de Monge pour désigner les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction f(x, y),

dz = p dx + q dy, o = r dx?+ 025 dx dy +tdy?+p d?x;

on tire de la première

et, en portant cette valeur de dx dans la seconde, on a

RES le à dz?+ 2(ps — qr)dy dz +(qèr — 2pqs + p?t) dy?

Les dérivées partielles du premier et du second ordre de +, considérées comme fonctions des variables z et y, ont donc les valeurs suivantes :

GÉNIE OLANERNE

5 Pa ARE TE LEE u 2x gr — ps x 2pqs —p?t— gr O2 ee p3 dy 03 p? ? 0y? Fi Fr :

Proposons-nous, comme application de ces formules, de trouver toutes les fonctions f(x, y) satisfaisant à l'équation g?r + p?t = 2pgs. Si, dans la relation 3 = f(x, y), on considère x comme une fonction des variables

ir La LE CO 2 indépendantes y et 3, la condition précédente devient Sie Cette #

: 0x ; 0x équation exprime que 7, ne dépend pas de y; on a donc = = ®f2), (3) étant une fonction quelconque de 3. Cette nouvelle équat "10" s'écrire

Ô op LRO mn.

et elle exprime que x — yv(3) ne dépend pas de y. On a donc encore T = y 9(z) + (x),

Ÿ (2) étant une autre fonction quelconque de 3, et l’on obtiendra toutes les fonctions 3 — f(x, y), répondant à la question, en résolvant l'équation précédente par rapport à 3. Cette équation représente une surface engendrée par une droite qui reste parallèle au plan des xy.

40. Équations simultanées. — Nous définirons d’abord un déterminant qui jouera un rôle essentiel dans la suite. Soient F;,, F2, ..., Fa un système de x fonctions de n variables y4,Y2,..., Yn pouvant dépendre en outre d’autres variables. Le déterminant

# pod y . . oF; formé par les dérivées paruelles du premier ordre —=

dYx OF, oF,; oF,; TS Ta HR sie JF: 0F 0F; (14) A=|0ÿ1 0ÿ3 dy» £ 0KY POP 0F,

0ÿa : OPA M0 y