I. — FONCTIONS IMPLICITES

s'appelle le jacobien, ou le déterminant fonctionnel des n fonctions F,, F,, ..., F, par rapportaux n variables y1,..., Yn. On le représente par la notation

Dr FES *….) Fr) D( 71: Ya; UM)

Cela posé, le théorème général d'existence des fonctions implicites s’énonce ainsi : |

Soit (E) un système de n équations entre n +p variables

FAR EME Th; NAT ss Vn) (E) Emi, Tan. Dh; Vis Vase.) Vn) = 0 ALES 0)

dont tous les premiers membres sont nuls pour un système de

, 0 LEA 2 he A D) E £ Daleurs xx, ... Tp—= 2, Yi Vi ce) Yan June SÙ les fonctions F; sont continues et admettent des dérivées partielles du. ; unter ordre par rapport aux variables yx, continues

dans le voisinage de ce système de valeurs, et si le jacobien DR Fosses Fr)

D( Ja Ya +. Jn) | existe un système de fonctions, et un seul,

n'est pas UD POUT Di Cie Mn Mas L

Vi = Di(Tis Dos cr Th); LE Va = Prnleis Lost DD)

satisfaisant aux équations (E), se réduisant à AO ON) Tes pectivement pour DT A D 0, el continues dans le voisinage de ce système de valeurs.

Le théorème étant déjà démontré pour # —1, il suffira de prouver que, s’il est vrai pour un système de n — 1 équations “) ph — 1 fonctions inconnues, il s'étend à un système de x équations à » fonctions inconnues. Par hypothèse, le déterminant À écrit plus haut est différent de zéro pour les valeurs x°, y?; par Suite, ses éléments ne sont pas tous nuls. Nous pouvons donc supposer, en changeant s'il est nécessaire l’ordre des indices, que la

re © , oF \ , \ , 2 dérivée (=) n'est pas nulle. Alors, d’après le théorème établi ur 700 au n° 34, l’équation (15) PT EU Ton, Vis Von : Ma)0 définit une fonction

(16) Va = (T1; Pas 5 Ep Yu Vars. Yn=1)

LS UE SES dE