LIMITES. — ENSEMBLES
nombres rationnels, l’ensemble des droites d’un plan, etc. Nous.
ne nous occuperons, pour le moment, que des ensembles de nombres. On dit qu’un ensemble de nombres (EË) est borné supérieurement s’il existe un nombre & supérieur à tous les nombres de cet ensemble ; s’il en existe un, il est clair qu'il y en aura une infinité, et tout nombre jouissant de cette propriété est une limite supérieure des nombres de l’ensemble (E). De même, un ensemble (E) est dit borné inférieurement s’il existe un nombre b plus peut que tous les nombres de l’ensemble (E); tout nombre jouissant de cette propriété est une limite inférieure des nombres de cet ensemble. Un ensemble borné supérieurement et inférieurement est appelé un ensemble borné. L’ensemble des nombres positifs est borné inférieurement ; l’ensemble des nombres négaufs est borné supérieurement ; l’ensemble des nombres compris entre o et 1 est borné dans les deux sens ; l’ensemble des nombres, tant positifs que négalifs, n’est borné dans aucun sens.
Soit (E) un ensemble de nombres borné supérieurement. On peut ranger tous les nombres positifs et négatifs en deux classes À et B, relativement à l’ensemble (E). Nous dirons qu'un nombre x appartient à la classe À, s’il existe ün ou plusieurs nombres de (FE) supérieurs à æ, et qu'il appartient à la classe B s’il n’existe aucun nombre de (E) plus grand que x. L'ensemble (E) étant borné supérieurement, il est évident qu'il existe des nombres des deux classes et qu'un nombre quelconque de la classe A est plus petit qu'un nombre quelconque de la classe B. Soit M le nombre séparatif entre ces deux classes. Ce nombre M possède les deux propriétés suivantes :
1° 1 n'existe aucun nombre de (E) supérieur à M ; 2° Quel que soit le nombre positif e, il existe toujours un nombre de (E) plus grand que M — 2.
En effet, supposons qu’il existe dans (E) un nombre
M + (Ra 0)
: h : e plus grand que M. Le nombre Mie qui est aussi plus grand
que M, serait de la classe A ; ce qui est absurde. D'un autre côté, : étant un nombre positif quelconque, le nombre M — e est de la
nd
classe A ; il existe donc dans (E) au moins un nombre supérieur à M — .
Le nombre M ainsi défini est appelé la borne supérieure précise ou, plus simplement, la borne supérieure de l’ensemble (E). Ce nombre M peut appartenir lui-même à (E); c’est toujours ce qui arrive lorsque cet ensemble est formé de nr nombres (7 étant fini). Mais, si (E) comprend une infinité de nombres, la borne supérieure ne fait pas nécessairement partie de l’ensemble. Par exemple, considérons l’ensemble des nombres r'attonnels dont le carré ne
dépasse pas 2 ; la borne supérieure est le nombre irrauonnel V2 et ne fait pas partie de l’ensemble. Au contraire, l’ensemble des nombres, r'ationnels ou irrationnels, dont le carré ne dépasse pas 2, a encore pour borne supérieure V2, mais ce nombre fait partie de l’ensemble. Observons encore que, lorsque M ne fait pas parue de l’ensemble (E), 1l existe toujours une infinité de nombres de (E), supérieurs à M — :, aussi petit que soit e. Car, s’il n’en existait qu’un nombre fini, c'est le plus grand de ces nombres qui serait la borne supérieure de (E).
On démontre de la même façon que, lorsqu'un ensemble (E) est borné inférieurement, il existe un nombre »m possédant les deux propriétés suivantes :
° Aucun nombre de (E) n’est inférieur à m; 2° Etant donné un nombre positif e, il existe toujours un nombre de (E) plus petit que m + «
Ce nombre mn est la borne inférieure de l’ensemble.
Il est clair qu'il ne peut exister qu’un seul nombre possédant les deux propriétés caractéristiques de m, et il en est de même pour M.
4. La plus grande des limites. — Soit (E) un ensemble borné, comprenant une infinilé de nombres. Relativement à cet ensemble,
nous pouvons ranger tous les nombres positifs et négatifs en deux
classes A’ et B' d’une autre facon. Nous dirons qu'un nombre æ
est de la classe À! s’il existe une infinité de nombres de l'en semble (E) supérieurs à x. Dans le cas contraire, nous dirons
que le nombre x est de la classe B'. L'ensemble (E) étant borné et formé d’une infinité de nombres, 1l est évident qu ’1l existe des
nombres des deux classes, et qu'un nombre quelconque de Ja
