I. —— FONCTIONS IMPLICITES
lorsque Ax tend vers zéro, il en est de même de Au, Avet, par suile,
Au se { ( D cn, nn. Le rapport © a donc une limite, c’est-à-dire
que w admet une dérivée partielle par rapport à æ,
ÔF; 0F> OF 0F9
= À Ap S ‘ On verrait de même que le rapport Te tend vers une limite Se
00 k . ; finie 7 Qui est donnée par une formule analogue ; pratiquement,
on calculera ces dérivées partielles au moyen des deux équations FE {
0F; 0F; ou 0F; de
PT VAN PRE mp re
0F; 0F2 ou OF: dv PEN TPE NIUE TEE
et l’on obtiendra, de la même façon, les dérivées partielles par rapport aux variables y et 3,
Les dérivées successives se calculent comme dans le cas d’une seule équation. Il faut encore observer que, lorsqu'il y a plusieurs variables indépendantes, il est avantageux de calculer les différenuelles totales, pour en déduire toutes les dérivées partielles du même ordre. Supposons, par exemple, qu’on ait deux fonctions w et # des trois variables x, y, 3, définies par les deux relations (21); les différentielles totales du premier ordre du et de sont données par les deux équations
0F; CLS 9F: 0F; nt mn
LT ÉTrRS den see dz + — me du a — dr = 0, D du, 0h. ra, + de = 0.
ox 03 ou
On aura ensuite d?u et d?v au moyen des équations
) i (2) 1 (5 LÉ DR ARe à Ta do) — Si Et d?v = 0, 0x dp dp
F. T (21 HS :
— dr +... Lang, dur dx dv 00
ou
et ainsi de suite. Dans les équations qui donnent d'u et d'o, le
100 CHAPITRE III. aù
déterminant des coefficients de ces différentielles est égal, quel que
D'(F soit 2, au jacobien DÉS qui, par hypothèse. n'est pas nul.
42, Inversion. — Soient %, Y2, ..., En 7 rues des nr variables D (v1, Da, +...) £n)
indépendantes æ1. To, ..., Tn, telles que le jacobien P 5 e ? 1h q = J D (1, To, Etre
soit pas identiquement nul. Les x équations
Ui = Pal, Marc ho Te) Ua = Da(dis La, + On) ir Un — En(Ti; La, +.) Tn)
définissent inversement (1) æ1, æ+, ..., æ, en fonction de Wy, Up, +.., Une Il suffit, en effet, de considérer un système de valeurs +9, æ$, ..., æ} pour lesquelles le jacobien n'est pas nul; u9, uÿ, ..., uf, désignant les valeurs correspondantes de y, Us, ..., Un, il existe, d’après le théorème général, un système de fonctions |
Di Vi Et Un) De =) Vs lister 248
Tn — Un (Us, Ua Un)
qui satisfont aux relations (22) et qui prennent les valeurs x, CRETE pour wi = . ..., un—=u%. Ce sont les fonctions inverses des fonclions v:, Pa +. Pa la détermination effective LE ces fonctions s'appelle une 2nver'sion.
Pour calculer les dérivées des to nero inverses, il suffit d'appliquer les règles générales. Ainsi, dans le cas de deux fonctions
JACES dE D = or,
si l’on considère inversement w et comme les variables indépendantes, æ et y comme les fonctions, on a les deux relations
OP NT Herr a 09 0?
Tree dæ, d’où l’on tire | (e) 2 di Dr 08 y 00 Rs Pilat dy = 97 SOS pp Jo 7 fe die 0x 0Y dy 0x 0x dy dy dx
(1) Nous ne définissons ainsi les fonctions inverses que dans le voisinage d'un système de valeurs particulières u;. Le cas où à tout système de valeurs de w,, Us, <<.) U, Correspond un système et un seul de valeurs pOur me été étudié aussi par divers géomètres. [Voir HADAMARD, Sur les transforma= tions ponctuelles (Bulletin de la Société mathématique, t. XXXIV, 1906).]
I. — FONCTIONS IMPLICITES. 101 On a donc les formules cs of CES dy Re dy MO 00 do Le. dvi lof op. | dj op 0x dY dy 0x OCÉ0 AN 00 fé of Ch LEE 0x GS CRE 0x Qu Of 0p OO D dœ Po% 0æ dy 0y 0x 0x 0y dy 0x
43. Tangente à une courbe gauche. — Considérons une courbe C représentée par un système de deux équations
