II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

L'équation de la courbe Gest donc de la forme (25) ax?+2bxy +cy?+Q(x,y)=o,

a, b, c étant des constantes non toutes nulles, Q(x, y) une fonction qui s’annule à l’origine, äinsi que ses dérivées du premier et du second ordre, et qui admet des dérivées du troisième ordre bornées pour les valeurs de x et de y voisines de zéro.

En appliquant la formule de Taylor à cette fonction CERTA: on voit qu’elle est de la forme

(26) he ur AT? + 3yxy?+ dy», 14 CE EN 4 f Y

a, 8, y, à étant des fonctions de x et de y qui ont des valeurs finies pour les valeurs de x et de y voisines de zéro.

Nous avons plusieurs cas à distinguer, suivant le signe de b?— ac. Si b?— ac est positif, l'équation ax? + 2bxy + cy? = 0 représente deux droites réelles et distinctes passant par l’origine. Imaginons qu’on ait pris ces deux droites pour axes de coordonnées, ce qui revient à effectuer un changement linéaire de variables ; l’équation (25) prend la forme

Eau) æy + R(x, y) = 0,

la fonction R (x y) satisfaisant aux mêmes conditions que la fonction Q (x, y), et pouvant par conséquent se mettre sous la même forme (26).

En posant y — ux dans celte équation, on en ture

RUT IUT).

R(x,y) pouvant être mis sous la forme (26), il est clair que R(x, ux) est divisible par x?, et le second membre de la relation (25) s’annule pour x — 0.

Il en est de même de la dérivée par rapport à w. En effet, par hypothèse, R;(x, y) admet des dérivées du premier ordre qui sont nulles à l’origine, et des dérivées du second ordre qui restent bornées ; en lui appliquant la formule de Taylor, on a donc

a, J)=lx?+2may +ny?,

- dm, R étant des fonctions de x, 7 qui conservent des valeurs finies lorsque x et y tendent vers zéro.

D'ailleurs R,(x, ux)=xR;(x, y), et par conséquent R! (x, ux) | est divisible par x?. Nous pouvons appliquer à l’équation (23) le | théorème du n° 34; cette équation admet une racine et une seule u—£©(x) tendant vers zéro avec x. Par l'origine 1l passe donc une branche de la courbe C, représentée par une équation y = xé(x), | qui est tangente à l’origine à l’axe des æ. En intervertissant le rôle $ des variables x et y, on verra de même qu’il passe par l’origine une seconde branche de courbe tangente à l’axe Oy.

Le point O est un point double à tangentes distinctes (0

Lorsque b?— ac est négatif, l’origine est un point double isolé.

À l'intérieur d’un cercle de rayon assez petit décrit du point O

pour centre, le premier membre F(x, y) de l'équation (25) ne | s’annule que pour le point O lui-même. Posons, en effet, x et y étant les coordonnées d’un point voisin de l’origine, x — p coso, J =psinv; il vient *®

F(x, y) = p?(a cos?e + 2b coso sin o + csin?o +pL),

# L étant une fonction de pe et de © qui reste bornée lorsque 5 tend | vers zéro. Soit H une limite supérieure de [ L] lorsque op est infé- J rieur à un nombre positif r.

a cos? + 20 coso sine + c sin? L

conserve un signe Constant, puisqu'on a supposé 6?— ac 0. à Soit 7n le minimum de sa valeur absolue. Pour tout point pris à | ten: ’ fr \ mm ' l’intérieur d’un cercle de rayon inférieur à 7 et à Jr’ *ÿant pour 1

centre l’origine, il est clair que le coefficient de e? ne peut s’an-

(*) I ne peut exister plus de deux branches de courbe passant par un point double. Supposons, en effet, que l'équation de la courbe soit de la forme (25), le coefficient c n'étant pas nul: on peut toujours satisfaire à cette condition par un choix convenable des axes de coordonnées. Si cette équation admettait trois racines Yÿ:, ÿ:, Y:, tendant vers zéro avec æ, l'équation F,(æ, y) —O auraitau moins deux racines tendant aussi vers zéro avec æ, d’après le théorème de Rolle. Or, cette équation est de la forme » bx +2C0Y+9(x, y) —=o, les deux fonctions p(æ,y)et 2, (æ, Y ) étant nulles pour æ = J —=0. Donc cette équation admet une racine et une seule tendant vers zéro avec DAC RES