II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

nuler; l'équation F(x, y) —0o n’admet donc pas d’autre solution que o — 0 à l'intérieur de ce cercle.

Lorsque b?— ac— 0, les deux tangentes au point double sont venues se confondre, et il y a en général deux branches de courbe tangentes à une même droite, et formant un rebroussement. L'étude complète de ce cas exige une discussion très délicate qui sera faite plus lard. Observons seulement que la variété des cas possibles pour la forme de la courbe est beaucoup plus grande que dans les deux cas déjà examinés, comme le montrent les exemples suivants.

La courbe y?= x* présente à l’origine un point de rebroussement de première espèce, avec deux branches de courbe tangentes à l’axe des #, situées de part et d’autre de cette tangente, et à droite de Oy. La courbe 7?— 2x? y + x'— #5 — 0 présente un rebroussement de seconde espèce ; les deux branches de courbe tangentes à l’axe des x sont situées du même côté de la tangente. L'équation nous donne, en effet,

M Tic r?,

et les deux valeurs de y sont de même signe lorsque + est très petit, mais ne sont réelles que si x est positif. La courbe

DIRE VE 0% Y + Yi = 0

présente deux branches de courbe n'offrant rien de particulier, tangentes l’une et l’autre à l’origine à l’axe des æ. On tire, en effet,

de cette équation PRE ee V8 — x?

ér 1 + 7?

etles branches obtenues en prenant successivement les deux signes devant le radical n’ont aucune singularité à l’origine.

11 peut aussi se faire que la courbe se compose de deux branches confondues, comme c’est le cas pour la courbe représentée par l'équation

Pr, yp)= 7?—227 + rt =0;

lorsque le point (x, y) se meut dans le plan, le premier membre F(x, y) s’annule sans changer de signe.

Enfin, il peut aussi arriver que le point (x5, Yo) soit un point

double isolé; c’est ce qui arrive pour la courbe y? + z'+ y'=—=0; dont l’origine est un point double isolé.

45. Points coniques d’une surface. — Un point M, d'une surface S, représentée par une équation F(x, y, 3) = 0, est un point singulier de cette surface, si les coordonnées %Z5, Yo, Ze de ce point annulent les trois dérivées du premier ordre F!, F,, Es Supposons qu’on ait transporté l’origine des coordonnées en ce point, et conservons les mêmes hypothèses qu’au paragraphe pré= cédent relativement aux dérivées du second et du troisième ordre de F(x, y, 3) dans le voisinage de l’origine. L’équation de la sur= face est de la forme

(28) F(x, y, 23) = ax?+ @y?+ a32?

+ 20173 +.2b2 27 + 2b3xy + Q(æ, YF ETC

Qi, G2, .…, 03 élant des constantes non toutes nulles et Q (x, y, 3} un polynome homogène du troisième degré en x, y, 3, dont les coefficients sont eux-mêmes des fonctions de +, y, 3 qui restent finies dans le domaine de l’origine.

La nature du point singulier dépend avant tout de la nature du cône (T) représenté par l’équation

(29) di L?+ ao V?+ A382+ 20; ys +20: 23% + 2037 = 0.

Supposons d’abord ce cône réel et indécomposable, et soient G et G' deux génératrices quelconques de ce cône. Si l’on fait une transformation de coordonnées de facon à prendre ces deux géné ralrices pour axes Ox et Oy, l'équation (28) est remplacée par une équation de même forme, où les coefficients a; et & seront nuls, le nouveau coeflicient D; n'étant pas nul [sans quoi le cône (T) se décomposerait en deux plans].

La section de la surface S par le nouveau plan des zy est donc représentée par une équation de la forme (25'); d’après ce que nous avons vu, cette section se compose de deux branches de courbe passant par l’origine et tangentes respectivement aux deux génératrices G, G'. L'aspect de la surface dans le voisinage du point singulier est donc analogue à aspect qu'offrent les deux. nappes d'un cône dans le voisinage du sommet; d’où le nom de point conique donné à ce point singulier.

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