II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

Lorsque l’équation (29) représente un cône imaginaire indécomposable, le point O est un paint singulier rsolé de la surface S. On peut décrire de ce point comme centre une sphère de rayon assez petit pour que l'équation F(x, y, 3) —0 n’admette pas d’autre solution à lintérieur que x =0, y—0, 3—0. Soient M un point voisin de l’origine, p sa distance à l’origine, a, , y les cosinus directeurs de la droite OM. En remplaçant #, y, 3 par pa, 06, py, la fonction F(x, y, 3) devient

F(æ, y, z) = p?(@ia?+ a2f?+...+ 2b3a8 + pL),

le facteur L conservant une valeur finie lorsque 9 tend vers zéro. . 7 ° . RUE À e . °. L :

Puisque | équation (29) représente un cône imaginaire, le polynome di a?+ da? +...

ne peut s’annuler lorsque le point «, B, y décrit la sphère de rayon un ayant pour centre l’origine; désignons par »# une limite inférieure de la valeur absolue de ce polynome. Soit, d’autre part, H une limite supérieure de la valeur absolue de L dans le voisinage du point O. Si de ce point comme centre avec un rayon moindre

m Ca ; k | à que y nous décrivons une sphère, il est clair que le coefficient

de 9? dans l’expression de F(x, y, 3) ne peut s’annuler à l’intérieur de cette sphère. L’équation (28) n’admet donc pas d'autre solution que 9 — 0.

Lorsque l'équation (29) représente un système de deux plans réels et distincts, il passe par le point O deux nappes de surface dont chacune est tangente à l'un de ces plans. Certaines surfaces présentent une ligne de points doubles où le cône des tangentes se décompose en deux plans. Cette ligne est une courbe double de la surface, suivant laquelle deux nappes distinctes se traversent mutuellement. Par exemple, le cercle représenté par les deux équations 3 —0, x?+ y?—1 est une ligne double de la surface qui a pour équation

Lorsque l'équation (29) représente un système de deux plans imaginaires conjugués ou un plan double réel, 1l faut dans chaque Cas particulier une discussion spéciale pour étudier la forme de la

surface äu voisinage du point O. La discussion que nous venons de faire se relrouve dans l’étude des maxima et minima.

46. Maxima et minima des fonctions d’une variable. — Soient f(x) une fonction continue dans un intervalle (a, b)et c un point de cet intervalle. La fonction f(x) est maximum ou minimum pour æ = c si l’on peut trouver un nombre positif n assez petit pour que la différence f(c + h)— f(c) conserve un signe constant lorsque À varie de — à + n. Si cette différence est positive, la fonction f(x) est plus petite pour + = c que pour les valeurs de æ voisines de c; elle passe donc par un minimum. Au contraire, lorsque la différence f(c + ) — f(c) est négative, la foncuon est maximum pour Z = C.

Lorsque la fonction f (x) admet une dérivée pour la valeur c de

la variable, cette dérivée doit être nulle. En effet, les deux quo="

üuents J(ec+h)— fe) f(e—Rh)}= fc) h k — h À

qui ont la même limite f'(c) lorsque 2 tend vers zéro, sont de signes différents; il faut donc que leur limite commune f”(c) soit nulle. Inversement, soit c une racine de l’équation f(x) = 0; comprise entre & et b; supposons, pour prendre le cas général, que la première dérivée qui n’est pas nulle pour æ = c est la dérivée d'ordre 7», et que cette dérivée est continue dans le voisinage de la valeur c. La formule générale de Taylor donne ici, en se limilant au terme de degré n, h'

J(ec+h)— f(c) — Fame AU +0), ce qui peut encore s’écrire É ha > } — = — (7) € Ann ane ONE },

e étant infiniment petit avec À. Soit n un nombre positif tel que, æ variant de C—n à c+n, la valeur absolue de e soit moindre que [f"(c)|; pour ces valeurs de æ, f'(c) + e a le même signe que f”(c) et, par suite, f(c+h) — f(c) a le signe de RENE Si n est impair, on voit que cette différence change de signe avec À; 1l n’y a ni maximum ni minimum pour æ—=)CHSEITIEN

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