II —— POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

pair, f(c+h)—f(c)a le même signe que f'"(c), que h soit positif ou négatif; la fonction est minimum si f#(c) est positif, et maximum si f(c) est négatif. En résumé, pour que la fonction

soit maximum ou minimum pour æ—c, il faut et il suffit que la première dérivée qui ne s’annule pas pour æ—c soit d’ordre pair.

En langage géométrique, les conditions précédentes signifient que la tangente à la courbe y=/f(æ) au point À d’abscisse € est parallèle à Ox et, en outre, que le point À n'est pas un point d’inflexion.

47. Fonctions de deux variables. — Soit : — f(x, y) une fonction continue de deux variables x, y, lorsque le point M de coordonnées (x,y) reste à l’intérieur d'une aire Q, limitée par un contour G. On dit que cette fonction f(x, y) est minimum pour un point (Zo; Yo) de l'aire Q lorsqu'on peut trouver un nombre positif n tel qu'on ait

A = f(zo+ h, Jo+ k) — f(&o; Jo)20

pour Lous les systèmes de valeurs des accroissements k et À, moindres que n en valeur absolue, et le maximum se définit de la même façon (!}. Si l’on considère pour un moment y comme constant et égal à y,, 3 devient une fonction de la seule variable x et, d’après le cas que nous venons d'étudier, la différence

f(æo+ h, Yo) — F(To; Yo)

ne peul conserver un signe constant pour les petites valeurs de À

(1) Si l’on exclut le signe — dans les conditions A >o ou A<o, on dit que l’on a un maximum ou un minimum au sens strict; mais, si légalité A = o peut subsister pour certaines valeurs de Let de k inférieures à n en valeur absolue, aussi petit que soit n, on à un maximum ou un minimum au sens large. Considérons la surface S représentée par l'équation & = f(x,7), l'axe Oz étant vertical; les maxima et les minima de f(x, y) correspondent aux sommets et aux fonds de la surface. Un maximum au sens strict correspond à un sommet isolé, mais ces points peuvent former des lignes sur la surface. Si l’on prend, par exemple, un tore dont l'axe est vertical, les parallèles extrèmes forment une ligne de maxima et une ligne de minima au sens large.

Les conditions 2 10! 2 — 9 sont aussi nécessaires pour qu’un point (a, Ü) corresponde à un maximum où à un minimum au sens large.

. . pp? de , 0 : " ë ; 4 que si la dérivée . est nulle pour x = %5, Y — Yo; on démontre

RE of de la même facon que ces valeurs doivent aussi annuler dy de

sorte que les systèmes qui rendent la fonction f(x, y) maximum ou minimum doivent être cherchés parmi les solutions des deux équations simultanées

PAPE UPE

es dy —

Soit æ — 9, Y —7, une solution de ces deux équations. Nous supposerons que les dérivées partielles du second ordre de f(x,» sont continues dans le voisinage des valeurs x5, y, et ne sont pas toutes nulles pour æ —=x,, y — Yo, et que les dérivées du troisième ordre existent. La formule de Taylor nous donne

(30) A= f(to+h, ÿo+k) — (to, Yo) ? 2 2 \ A = TE ok + pe DE)

(3) se, 3 hk of ds À rest 6 \'0x dY 7 y,+0#

pour les valeurs de 2 et de k, voisines de zéro, c'est évidemment le trinome |

pa TS + Ni M 0x 0%0o dVo 0yYà ,

qui donne son signe au second membre, et l’on prévoit que la discussion du signe de ce trinome va Jouer un rôle prépondérant.

Pour qu'il ÿ ait maximum ou minimum pour += %,, y — Ya il faut et il suffit que la différence À conserve un signe constant lorsque le point (æ,+ k, y, +) reste compris à l’intérieur d’un carré assez pelit ayant pour centre le point (x,, 0). Cette diffé= rence À conservera donc aussi un signe constant lorsque le point (Zo+ À, y + Æ) restera à l’intérieur d’un cercle de rayon assez petit de centre (x5, Y,), et inversement; car on peut remplacer un carré par le cercle inscrit et réciproquement. Soit donc CG un cercle de rayon r décrit du point (x,, Yo) Comme centre; on obtient tous les points intérieurs à ce cercle en posant

h = pcos®, k = psinv,