II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA. TIT

p dé tra Er On pourrait

même se contenter de donner à p des valeurs positives, mais il

Ptfaisant varier © de o à 27, et

vaut mieux, pour la suite, ne pas introduire celte restriction. En faisant cette substitution dans À, il vient

9 3 À = ETA cos?2o + 2B sino coso + Csin?o) + = L, ) en posant d? 2 PE A == LES B == Do C —= ce 2 907$ 0To dVo 05

L étant une fonction dont il estinutile d'écrire l'expression développée, mais qui conserve une valeur finie dans le voisinage du point (æo, Yo). Cela posé, nous avons plusieurs cas à distinguer, suivant le signe de B?— AC.

Premier cas. — Soit B? — AC >> 0. L’équation

À cos?o + 2B Sin © COS ® + C sin? = 0

admet deux racines réelles en tango, et le premier membre est la différence de deux carrés, de sorte qu’on peut écrire

2 3 Le É fa(a cos® + b sinp}?— (a cosy + b'sine)?] + £ L,

MD, b>o, au Du 0.

Si l’on attribue à l'angle © une valeur telle qu'on ait a cos? + b sinv® —0,

À sera négatif pour les valeurs infiniment petites de p; au contraire, si l’on prend pour # un angle tel que a’ cose + HSE A sera positif pour les valeurs infiniment petites de e. Il est donc impossible de trouver un nombre r tel que la différence À conserve un signe constant lorsque la valeur absolue de 5 est inférieure à 7, quel que soit l'angle ©. La fonction f(æ, y) n’est ni maximum, ni MINIMUM, POUr £ = Lo, Ÿ — Yo:

Deuxième cas. — Soit B? — AC £ o. Le trinome

À cos2® + 2B cososiny + CO sin?o | $

ne s’annule pas lorsque & varie de o à27. Soit m une limite infé-

rieure de sa valeur absolue; soit, d'autre part, H une limite supérieure de la valeur absolue de la fonction L dans un certain cercle

de ravon R et de centre (x5, y,). Désignons par r un nombre D TS : AR PE MEME RUE positif inférieur à R et à 7 ; à l'intérieur du cercle de rayon r, la

différence À aura le même signe que le coefficient de o?, c’est= à-dire que À ou GC. La fonction f(x, y) est donc maximum ou MINIMUM POUT TE — Xp, M — Yor

En résumé, si au point #5, Yo on a

2 C4 2 2 To 0Y0 0x$ 0y

il n’y à ni maximum ni minimum. Si l’on a