II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

plan tangent étant le plan des +7, l'équation de la surface est de la forme

(31) 3=a2+2bxy + cy?+axi+ 3 r2y + 3yxy?+ 0 ys,

a; b, c étant des constantes et 4, 8, y, à des fonctions de x, y qui restent finies lorsque x et y tendent vers zéro.

Pour savoir si la surface S est située tout entière d’un même côté du plan des zy dans le voisinage de l’origine, il suffit d'étudier l'intersection de cette surface par le plan des xy. Or cette intersection est représentée par l’équation

(52) ax?+2bxy +cy?+axi+..,—=0o

et présente un point double à l’origine des coordonnées. Si b?— ac est négatif, l’origine est un point double isolé (n° 44) et l’équation (32) n’admet pas d’autre solution que x = y — 0, lorsque le point (æ, y) reste à l’intérieur d’un cercle C de rayon assez petit 7, décrit de l’origine comme centre. Le premier membre de l’équation (32) conserve un signe constant lorsque le point (x, y) se meut à l’intérieur de ce cercle. Tous les points de la surface S qui se projettent à l’intérieur du cercle C sont donc situés d’un même côté du plan des xy, sauf l'origine. C’est le cas où la fonction f(x, y) présente un maximum ou un minimum. La portion de la surface S voisine de l’origine est analogue à une portion de sphère ou d’ellipsoïde.

S1 b?— ac > 0, l'intersection de la surface S par le plan tangent présente deux branches de courbe distinctes C,, C>, passant par l'origine; les tangentes à ces deux branches de courbe à l’origine sont représentées par l’équation

ax?+20xy +cy?= 0.

Imaginons un point (x, »)mobile dans le voisinage de l’origine ; lorsque ce point traverse une des branches de courbe C,, C>, le premier membre de l’équation (32) change de signe en s’annulant. On a donc, en attribuant à chaque région du plan voisine de l’origine le signe du premier membre de l'équation (32), une dispositon analogue à celle de la figure 5. Parmi les points de la surface qui se projettent sur le plan des xy, à l’intérieur d’un cercle ayant pour centre l’origine, 1l y en a toujours au-dessus du plan des xy