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et d’autres au-dessous, quelque petit que soit le rayon de ce cercle: La surface est disposée par rapport à son plan langent comme un hyperboloïde à une nappe ou un paraboloïde hyperbolique. La fonction f(x, y) n'est ni maximum ni minimum pour l’origine. Le cas où b?— ac — 0 est précisément le cas où la courbe d'in:

tersection de la surface par son plan tangent présente un point de rebroussement à l’origine, cas dont nous avons réservé l'étude. Si | l'intersection se compose de deux branches distinctes passant par ; l'origine, il n’y aura ni maximum ni minimum, car la surface tra= verse encore son plan tangent. Mais si l’origine est un point double : isolé, ou si l'intersection se compose de deux branches confondues, 1 la fonction f(x, y) sera maximum ou minimum, et, dans le dernier cas, On aura un maximum ou un minimum au sens large. ÿ

49. Pour reconnaître dans lequel des deux cas on se trouve, il faut tenir compte des valeurs des dérivées du troisième ordre et du quatrième ordre, et quelquefois des dérivées d'ordre plus élevé. La discussion suivante, qui est d’ailleurs suffisante le plus souvent dans la pratique, ne s'applique qu'aux circonstances les plus générales. Lorsque b?— ac =0, on peut écrire l’équation de la surface, en poussant le développement de Taylor jusqu'aux termes du quatrième ordre, |

: : ï of of \ #1 | 33 Ti L = 4 se 2 ; bd en 225310 d ( ) fx, y) = A(æ sinw RUE + POS (z pau Jo, h

et nous supposerons, pour fixer les idées, À > 0. Pour que la surface S soit tout entière d’un même côté du plan des æy dans le voisinage de l’origine, il est nécessaire que toutes les courbes d’intersection de cette surface par des plans passant par O3 soient d’un même côté du plan æ07y dans les environs de l’origine, Or, si nous coupons la surface par Le plan

J = ælang®,

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