II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA
l’équation de la courbe d’intersection s’obtient en posant dans l’équation (33) æT= p COsY, y =psin®
(les axes étant O3 et la trace du plan sécant sur +0 y), ce qui donne 3 = Ap?(cosy sinw — cosw sing)? + Ko8 + Lo,
K désignant un coefficient indépendant de 0; si l’on a tanguw Z tango, z sera positif pour les valeurs infiniment petites de p. Toutes ces sections sont donc au-dessus du plan des æy dans le voisinage de l’origine. Coupons maintenant par le plan
Y = æ Ing;
si la valeur correspondante de K n’est pas nulle, le développement de z est de la forme 3 —=93%(K<+E)
et change de signe avec o. Il s'ensuit que la section de la surface par le (a) Î
plan précédent présente un point d’inflexion à l’origine et traverse le plan
des æy; la fonction f(x n’est donc ni maximum ni minimum à l’ories 1
gine. C’est ce qui a lieu lorsque la section de la surface par son plan tan-
gent présente un point de rebroussement de première espèce, comme par
exemple la surface 3=Yy?— x.
Si, pour la section considérée, on a K —o, on poussera le développement jusqu'aux termes du quatrième ordre, et l’on aura pour 3 une expres-
sion de la forme 3 =p*(Ki+e),
K, étant une constante dont ilserait facile d'avoir l'expression au moyen des dérivées du quatrième ordre; nous supposerons que ce coefficient n’est pas nul. Pour des valeurs infiniment petites de p, 3 a le signe de K;,; si K, est négatif, la section est au-dessous du plan des xy dans le voisinage de l'origine. Il n’y a encore ni maximum ni minimum pour 3; c’est ce qui à lieu, par exemple, pour la surface 3 = y?— xt, dont l'intersection par le plan des zy se compose des deux paraboles y =æ+x?. On voit donc que, si l’on n’a pas à la fois K — 0, Ki > 0, il est inutile de pousser le calcul plus loin; on peut affirmer que la surface traverse son plan tangent dans le voisinage de l’origine.
Lorsqu'on à en même temps K = o, Ki > o, toutes les sections de la surface par des plans passant par Oz sont au-dessus du plan des æy dans le voisinage de l’origine. Mais cela ne suffit pas pour pouvoir affirmer que la surface ne traverse pas son plan tangent, comme le prouve l’exemple de la
surface B= (y =r)(ye—- 27%),
qui coupe son-plan tangent suivant deux paraboles dont l'une est inté-= rieure à l’autre. Pour que la surface ne traverse pas son plan tangent, il faut en outre que, si l’on coupe cette surface par un cylindre quelconque
ayant ses génératrices parallèles à O z et passant par Oz, la courbe d'inter-
section soit au-dessus du plan des æy. Soit y = ÿ(x) l'équation de la trace
de ce cylindre sur le plan des æy, la fonction ®(x) étant nulle pour æ3=0; la fonction F(x) = f[x, w(æ)] doit être minimum pour æ& = 0, quelle que soit la fonction o (x). Afin de simplifier les calculs, je supposerai qu'on a choisi les axes de coordonnées de façon que l'équation de la surface soit
de la forme Z3= AY+ or, Y)+.c
où À est positif; avec ce système d’axes, on a pour l’origine
Pre of Of of of
0To
0Vo 0x? Ô 0% 0Vo
Les dérivées de la fonction F (x) ont pour expression
F° (æ) = LR D ot),
0x 0 Hat) de un g'(T) + DE gt(a)+ f p'(æ) po (ae) = D es et (a) 8 g3(a) + DE gr) EE HQE, F0 AC) RES TE + re P'(2) +63 4 Le Fos |
}3 3 +6 LD E URSS D) 03.f DENT CE
0x 07 * 0x d PERRET Def D" + re ru o!"! L/4 TA 5% 07? s (AP PT SCIE ï p'(æ);
pour æ = y = 0, ces formules donnent
FÉ=0 Fo Le AHOIE
1 ®'(0) n’est pas nul, la fonction F(x) présente bien un minimum pour æ = 0, ce qui était facile à prévoir d’après la discussion précédente.
Si l’on suppose +’ (0) = 0, il vient F(o} 0; F'(o) = 0, Fo) nu:
