M OR NT

soit positif, quelle que soit la valeur de w”(o).

Il est facile de vérifier que ces conditions ne sont pas satisfaites pour la fonction considérée tout à l'heure 3 = y?— 3x2y + 2x1, tandis qu’elles le sont pour la fonction z = y?+ xt. Il est évident, en effet, que cette dernière surface est tout entière au-dessus du plan des æy.

“Je ne pousserai pas plus loin la discussion, qui exigerait, pour être rendue absolument rigoureuse, des considérations fort délicates, et je renverrai le lecteur désireux d'approfondir ce sujet à un important Mémoire de M. Ludwig Scheffer, dans le Tome XXXV des Mathematische Annalen.

90. Fonctions de trois variables. — Soit u —f(x,7Yy, z) une fonction continue des trois variables æ, y, z. On dit encore qu'elle est maximum ou minimum pour un système de valeurs 5, Yo; So lorsque la différence

À = f (Lo + h, LOS k, 30 + LP CLo, Yo; Zo)

conserve un signe constant pour tous les systèmes de valeurs de À, Æ, /, moindres en valeur absolue qu’un nombre positif n suffisamment petit. Si l’on considère une seule des trois variables x, y, 2 comme ayant reçu un accroissement, les deux autres variables étant traitées comme des constantes, on voit comme plus haut que ne peut être maximum ou minimum que si l'on a à la fois a ue

en admettant, bien entendu, que ces dérivées sont continues dans le voisinage des valeurs %, Vo 30. Supposons qu’on ait trouvé un système de solutions de ces trois équations simultanées, et soit M, le point de l’espace de coordonnées (%5, Yo, Z0)- I y aura maximum où minimum si l’on peut trouver une sphère de centre M,, telle que f(x, y, 3) —f(Xo; Yo; So) Conserve un signe constant lorsque le point x, y, z reste à l’intérieur de cette sphère. Représentons les coordonnées d’un point voisin de M, par

118 CHAPITRE Ill.

æ, B, y étant liés par la relation «?+ $?+%?=1, et remplacons D — Lo, Ÿ —Vos 2 —%0 par pa, PB, PY dans le développement de f(x, y, 3) par la formule de Taylor; 1] vient

A=p?[p(x, B, y) + pL],

w(a, B, y) désignant une forme quadratique en o, $, y dont les coefficients sont les dérivées du second ordre de f(x, y, 3) et L une fonclion qui reste finie dans le voisinage du point M,. Cette forme quadratique peut s'exprimer par une somme de trois carrés de fonctions linéaires distinctes de «, B, y, multipliés par des facteurs constants. en négligeant le cas exceptionnel où le diseriminant de cette forme serait nul. Soit

o(æ, b, Ÿ) = aP?+ a'P'?+ a"P"?;

si les trois coefficients a, a!, a" sont de même signe, la forme quadratique w(«, 8, y) reste supérieure en valeur absolue à un certain minimum lorsque le point &, fi, y décrit la sphère de rayon un, ayant pour centre l’origine, et par conséquent À con= serve le signe de a, a!, a” lorsque 9 est inférieur à une certaine limite. La fonction f(x, y, 3) est donc maximum ou minimum.

Si les trois coefficients a, a!, a” ne sont pas de même signe, il n’y à ni maximum ni minimum. Supposons, par exemple, a > 0, a'<o; prenons pour a, 8, y des valeurs satisfaisant aux relations P'—0o, P’—o. Ces valeurs n’annulent pas P, et À sera positif pour les petites valeurs de 0. Si l’on prend au cuntraire des valeurs de «&, 6, y vérifiant les relations P —0, P’—=0}; Awsera négatif pour les petites valeurs de o.

La méthode est la même, quel que soit le nombre des variables indépendantes; c’est toujours la discussion d’une forme quadratique qui joue un rôle prépondérant. Dans le cas d’une fonction de trois variables seulement u — f(x, y, z), on peut remarquer que la question revient à étudier la nature d’une surface dans le voisinage d’un point singulier. Considérons, en effet, la surface Z qui a pour équation

F(x, 7,2) = f(x, y, 3) — fo Ye Z0) = 0;

cette surface passe évidemment par le point M, de coordonnées (Los Pos 30) et, si la fonction f(x, y, z) est maximum ou minimum,