POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

ce point M, est un point singulier de Y. Cela posé, si le cône des tangentes en M, est imaginaire, on a vu que F(x, y, z) conserve un signe constant à l’intérieur d’une sphère de centre M, et de rayon assez pelit; il v a effectivement maximum ou minimum pour f(x, y, 3). Mais si le cône des tangentes est réel, ou se décompose en deux plans réels et distincts, il y a plusieurs nappes de surface passant au point M,;,et F(x,7,2) change de signe lorsque le point (x, y, 3) traverse une de ces nappes.

51. Distance d’un point à une surface. — Soit à trouver les valeurs maxima et minima de la distance d’un point fixe (a, b, c) à une surface S représentée par l'équation F (x, y, 3) = 0. Le carré de la distance

est une fonction de deux variables indépendantes seulement, x et y par exemple, si l’on considère 3 comme une fonction de x et y définie par l'équation F = o. Si w est maximum ou minimum pour un point (æ, y, &) de la surface, on doit avoir pour les coordonnées de ce point

CRT . 03

ou 3

d'autre part, de l'équation F — o on tire

0F OF 90z 0F 0F oz

nn ne eee ei) nr lee O, 0x 03 0x J dy 03 Ô0y

et les relations précédentes deviennent

ce qui montre que la normale à la surface S au point (x, y, z) passe par le point (a, b, c). Les points cherchés sont donc, en laissant de côté les points singuliers de la surface S,les pieds des normales abaissées du point (a, b, c) sur la surface S. Pour examiner si un de ces points répond effectivement à un maximum ou à un minimum, nous prendrons ce point pour origine et le plan tangent pour plan des æy, de façon que le point donné soit sur l’axe Oz. La fonction à étudier est alors

z étant une fonction f(æ, y), qui est nulle ainsi que ses dérivées du premier ordre pour æ = y = 0. En désignant par r, s, € les dérivées partielles du second ordre de z, on a, MR l’origine,

o?u du CR du —: CT RC EC — I—- Cl 7e 2(1— CI), Has 20S; He vl ct}

et tout revient à étudier le signe du polynome A(c)= c?s—(1—cr)(1— ct) = c(s2— rt) + (r + 6) —1;

les racines de l’équation A(c) = o sont toujours réelles, en vertu de l’identité (r+é)?+ 4(st— rt) = 4s?+(r — 4}. Cela posé, plusieurs cas-sont à distinguer, suivant le signe de s?— ré.

Premier cas. — Soit s?— rt Lo. L'équation A(c) = o a deux racines de même signe c1 et C», et l’on peut écrire A(c) = (s?— rt)(c— c1)}(c —c2). Marquons les points A, et À, de l’axe des z de coordonnées €; et ©; ces deux points sont du même côté de l'origine et, en supposant r eté positifs, ce qu’on peut toujours faire, ils sont tous les deux sur la partie positive de Oz. Si le point donné A (0, 0, c) est en dehors du segment AA», A(c) est négatif et la distance OA est maximum ou minimum. Pour savoir lequel des deux cas se présente, il faut consulter le signe de 1 — cr; ce

i À coefficient ne s'annule que pour la valeur € = -; qui est comprise entre c; >

et C2, car on a À (>) = 5 + Or, pour c = 0, 1 — cr est positif; il est donc positif si le point À est du même côté que l'origine par rapport au segment A;A2, et la distance OA est minimum. Elle est au contraire maximum si le point À est situé de l’autre côté que l’origine par rapport au segment A; A2. Si le point A est entre les points A; et A», la distance n'est ni maximum ni minimum. Il y a doute pour les points A, et A, eux-

mêmes.

Deuxième cas. — Soit s°— rt > 0. Les racines c; et © de A(c}=10 sont l’une positive, l’autre négative, et les points A; et A, sont de part et d'autre de l'origine. Si le point A n’est pas compris entre A; et A>, A(c) est positif, et il n’y a ni maximum ni minimum. Si le point À est compris entre À, et À», A(c) est négatif, 1— cr est positif et, par suite, la distance O À est minimum.

Troisième cas. — Soit s?— rt —0. On a A(c)=(r+t)(e —c). On voit comme tout à l’heure que la distance AO est minimum si le point A est du même côté que FOTIEUE par rapport au point A; de coordonnées (0, 0, ci}, et qu'il n’y à ni maximum ni minimum si le point Ai est entre le point À et l’origine.

Les points A, et À, jouent un rôle fondamental dans l’étude de la courbure; ce sont les centres de courbure principaux de la surface S au

point O.