II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

59. Maxima ét minima des fonctions implicites. — Il arrive souvent qu’on a à chercher le maximum ou le minimum d’une fonction de plusieurs variables, ces variables étant liées par une ou plusieurs relations. Soit, par exemple, Ur, Ysanu)iure fonction des quatre variables x, y, 3, w assujetties à vérifier les deux relations

Jr, y; 3, U)—=0, fi(a, 7, zu) = 0.

Considérons, pour fixer les idées, x et y comme deux variables indépendantes, 3 et 4 comme des fonctions de x et de y définies par les relations précédentes. Les conditions pour que w soit maximum où minimum sont les suivantes :

Praz OT ou CPC NC ENITRRE.

ur LL 070 oo. duo. | Ou. 0z . du

; —,-— sont données par

*1] PEAR , pe 3 d’ailleurs les dérivées partielles =) 0x 0%. 07.0

les relations

dfi of 03 of; ou 0f2 df> 0 Z 0f» du 0 oo D or 5.07 duo 0 df1 0 0 0 Of> 03 Ofs 0 INR EEE ire LEUR SAS EERTS OY z y ou 0y 0Y 03 dy ou 0y LL PÈRE 0z.0u 023 du |

et l'élimination de —; 4 0, % Onduit aux deux relations

0x” 0x 0yÿ 0Y

DO ff) , DCf: fifa)

(54) RS RS D(y;,z,u) M

qui, jointes aux: relations f, = 0, f — 0, déterminent les valeurs de x, y, =, u correspondant à un maximum ou à un minimum.

Or les deux équations (34) expriment qu’on peut trouver pour À et u des valeurs telles qu'on ail |

0 df2 | ; ESS er of2 = O0, DER EEE (35) 0x 0x 4 OV OM ) « sh ess 0 er nl eut

On peut donc remplacer les deux conditions (34) par les quatre équations (35), en considérant À et y} comme deux inconnues auxiliaires.

La démonstration est évidemment générale, et l’on peut énoncer la règle pratique suivante : £'tant donnée une fonction

TT Ta; .., Tn) de n vartables liées par h relations distinctes P1—= 0, Y2 = O, etes Pn = O,

pour :trouver, les Valeurs délr,,7,, 05008 qui rendent cette fonction maximum ou minimum, tl faut égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction auxiliaire

f FApree + ÂnOn

en regardant À, À2, ..., À, comme des constantes.

L'application de cette règle générale peut être facilitée par certaines remarques, en particulier dans les problèmes de maximum ou de minimum fournis par la Géométrie. Supposons, par exemple, qu'on demande le maximum de l'aire du triangle M; M: M3, dont les sommets décrivent respectivement trois courbes planes fermées C;, C2, C3, distinctes ou non. Supposons les coordonnées d’un point de la courbe C; exprimées en fonction d’un paramètre Z;(i = 1, 2, 3); il est clair que l’aire du triangle est une fonction F(4, é+, {3) des trois variables indépendantes 4, £o, £3. La condition = — 0 exprime que l'aire est maximum ou minimum lorsque,

les points M, et M; réstant fixes, le point M, se déplace sur C à partir de sa position initiale. I faut évidemment pour cela que la tangente en M, à la courbe C; soit parallèle au côté M, M; ; pour la même raison, les tangentes aux points M; et M; aux courbes C, et C; doivent être parallèles aux côtés opposés. Lorsque les courbes C;, C+, C3 se réduisent à une même ellipse, il y a une infinité de triangles d’aire maximum; on a donc affaire à un maximum au sens large.

99. Remarques générales sur les maxima et minima absolus. —- Pour déterminer le maximum et le minimum absolus d’une foncon continue dans un domaine déterminé, comprenant ses frontières, on doit Lenir compte de quelques remarques dont 1l est facile de reconnaître l'importance. Prenons, par exemple, une fonction d’une seule variable f(x), définie dans un intervalle (a, b); elle peut atteindre sa valeur maximum ou sa valeur minimum pour un point intérieur € de cet intervalle sans que la dérivée s’annule. Si la dérivée f(x) est discontinue pour æ =c,