LI. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

il suffit qu’elle change de signe pour que la fonction présente un R 2 maximum ou un minimum ; ainsi la fonction y — +* est minimum

RSR CIE VAS ; ‘ > pour æ — 0, et la dérivée ja 3 devient infinie pour cette valeur

de x. Cette remarque s'étend évidemment aux fonctions d’un nombre quelconque de variables. Pour fixer les idées, soit w—/f(æ,7) une fonction de deux variables x et y, continue dans un domaine D. Les règles qui ont été données pour reconnaître si un point (Zo, Yo) intérieur à ce domaine correspond à un maximum ou à un minimum supposent expressément que les dérivées de f, jusqu’à celles du troisième ordre, conservent des valeurs finies dans le voisinage de ce point. Mais 1l peut arriver que la fonction w atteigne son maximum ou son minimum pour un point (Zo, Yo) intérieur au domaine D. où ces conditions ne sont pas remplies, par exemple en un point où Îles dérivées f,, f, sont discontinues (!).

Il peut aussi arriver que la fonction considérée atteigne sa valeur maximum ou sa valeur minimum en un point de la frontière du domaine, et ce cas échappe évidemment à l'application des règles générales. Supposons, pour prendre un exemple, qu'on cherche la plus courte distance d’un point fixe P de coordonnées (a, o) au cercle C de rayon R ayant pour centre l’origine. En prenant pour variable indépendante l’abscisse x d’un point M du cercle C,ona

d'= PM —=R?+a—-2ax.

p LA

L'application de la règle générale conduirait à chercher les racines de l’équation 24 —0, ce qui est absurde. On s'explique aisément ce résultat en observant que, d’après la nature de la quesüon, la variable x ne peut varier qu de — R à +R. Si a est positif, d? est minimum pour + —R, et maximum pour x — — KR.

Une discussion spéciale, relative à la frontière du domaine,

(1) On a un exemple intéressant en cherchant le point M d’un plan tel que la somme MA + MB + MC de ses distances à trois points du plan soit minimum. Si tous les angles du triangle ABC sont inférieurs à 120°, le point M est le point d'où l’on voit les trois côtés AB, BC, CA sous des angles égaux à 120°; si l’un des angles, À par exemple, est supérieur à 120°, le point M est le point A luimême, et en ce point les dérivées partielles de la fonction sont discontinues.

semble donc nécessaire dans chaque cas particuher. Mais cette discussion devient inutile, toutes les fois que le domaine considéré n'a pas de frontières. Toute surface fermée peut être considérée comme définissant un domaine sans frontière à deux dimensions. Pour fixer les idées, prenons une sphère de rayon R et supposons les coordonnées Mo es d’un point de cette sphère exprimées au moyen des coordonnées géographiques

æ=Rsin cosvo, J =R sinô sine, g'—= R'COSN

À toute fonction qui admet une valeur unique en chaque point de la sphère correspond une fonction w — f (8, «), des deux variables Ü et , admettant la période 27 par rapport à chacune de ces variables. |

S1 cette fonction est continue et admet des dérivées partielles continues pour toutes les valeurs de 8 et de 0, il est clair que les couples de valeurs de 4 et de © qui donnent à celte fonction sa

valeur maximum et sa valeur minimum font partie des solutions des

. é RID) dw deux équations — = 0, — —0.

34. Valeur maximum d'un déterminant.— Soit à trouver le maximum de la valeur absolue d’un déterminant

(221 b; Ci s.. l,

(36) As EU CARRE AL

dn Ur Cane he LE

connaissant la somme des carrés des éléments d’une même ligne. Cela revient à trouver le maximum et le minimum -de la fonction À des n? va riables à;, b;, c;, liées par les 7 relations

(37) ai+b}+c;+...+lP= NH; (i=1, 20),

les H; étant des constantes positives données. Le domaine ainsi défini est un domaine sans frontières, car nous pouvons considérer @;, 0}, 07, 0,0

comme les coordonnées d’un point d’une hypersphère de rayon ÿH : Cape l’espace à n dimensions.

Supposons A développé suivant les éléments de la gième ligne, (38) A=A;a;+B;b;+...+L;l;:

nous avons à chercher le maximum ou le minimum de la fonction A des.