II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA

n variables @a;, b;, c;, .…, l;, liées par la relation (37). L'application de la méthode des multiplicateurs (n° 52) conduit immédiatement aux conditions

(39) te +

MOIENT Gr OZ CZ, - - ., VX te éléments d’une autre ligne de A. On a Ajax + B;,0z +. OA Er O, et, par suite, d’après les relations (39), (40) ajar+b;br+...+ llr= 0,

si & < À. On en conclut que le déterminant À ne peut prendre sa valeur maximum ou sa valeur minimum que lorsque ce déterminant est orthogonal.

Lorsque les conditions (40) sont vérifiées, le carré de A est un déterminant dont tous les éléments sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale, qui sont respectivement égaux à H;, H>,..., H,. On a donc, dans ce

cas, A2 — H,H,. ss 7

et le maximum de la valeur absolue du déterminant A est donc

He À.

Remarque. — Dans le cas de n = 3, A représente le volume du pérallélépipède construit sur les droites OA, OA:, OA3, joignant l’origine aux points A1(a, Di, C1), Ao(@o, Ds, C2) et As(as, b3, c3,). Le résultat obtenu n'est donc que la généralisation de ce théorème de Géométrie : De tous les parallélépipèdes construits avec trois arêtes données, celui qui a le plus grand volume est le parallélépipède rectangle.

Comme on peut faire occuper à ce parallélépipède une infinité de positions dans l’espace sans changer le sommet O, nous voyons que le maximum obtenu pour A? est un maximum au sens large

Soit À un déterminant quelconque d'ordre n; si nous représentons par ai, b;, .., l; les éléments de la cième ligne, on a, d’après ce qui précède, l'inégalité ,

MAOMPAIS Var bi... + di VAS DEEE EU.

Si les valeurs absolues de tous les éléments de A ne dépassent pas un nombre positif M, on a donc a fortiori (1)

(42) [A|£ÿnreMr.

(1) Ce théorème est dù à M. Hadamard (Bulletin des Sciences mathèmatiques, 2° série, t. XVII, 1893). La démonstration du texte est due.à M. Wirtinger (Zbid., 1908).

126 | CHAPITRE Il.