III. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS

99. Propriété fondamentale. — Nous avons vu déjà le rôle im portant que joue le déterminant fonctionnel dans la théorie des fonctions implicites. Toutes les démonstrations supposent expressément qu'un certain jacobien n’est pas nul. Étant données r foncüons de n variables indépendantes, continues et admettant des dérivées partielles du premier ordre continues, le jacobien de ces » foncuons jouit de propriétés analogues à celles de la dérivée. Ainsi, pour qu'une fonction d’une variable x se réduise à une constante, il faut et il suffit que sa dérivée soit nulle identiquement. Le théorème correspondant pour le jacobien est le suivant :

Soient ui, U, ..., Un, n fonctions des n variables tndépen-

dantes %i, &2, ..., xn. Pour qu'il existe entre ces n fonctions 15 2; , 2

une relation indépendante des variables x,, x», ..., xy, cl faut

D'(u5, Us...

et il suffit que le déterminant fonctionnel ff ci J D (x, Ta, c.., Tr)

soit tdentiquement nul.

1° La condition est nécessaire. — Considérons, pour fixer les idées, trois fonctions de trois variables

(43) X= fi(e,7,2),, Y=fiis,p,z), fa pe,

continues et admettant des dérivées partielles continues, et supposons que le jacobien

DEAR D{x,pie)

n'est pas identiquement nul. Soit en particulier (%6, Yo, Z0) un système de valeurs de x, y, 3 pour lequel ce déterminant est différent de zéro; soient X,, Yo, Zo les valeurs correspondantes de X, Y, Z. D'après le théorème général du n° 40, on peut assigner un nombre positif À tel qu’à tout système de valeurs de X, Ÿ, Z satisfaisant aux conditions

(45) Xo—RSXEXo+h, Yo ASYE Yo+h, VAR LL

corresponde un système de valeurs de x, J'; 3, vérifiant les équa-