III. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS

tions (43). Les valeurs des fonctions fi, f:, f; pouvant être choisies arbitrairement dans le domaine précédent, él ne peut donc y avoir aucune relation F(X, Ÿ,Z)= 0 entre ces fontions.

Remarque. — Le même raisonnement prouve qu'il ne peut y avoir de relation entre les deux fonctions X et Y, si les trois De DEX, VI DIX, Y) D(x, y) D(y,:) D(z x) nuls. D'une façon générale, pour que n fonctions &,, U», ..., Un

jacobiens ne sont pas identiquement

de x + p variables indépendantes 1, Z», ..., Æntp soient liées ar une relation. il est nécessaire que tous les déterminants fonc-

tionnels D'UN in) ONU A Leo + ie las

D(xTa,, T'as: ….., Ta,)

où les indices &, œ», ..., 4, sont nr quelconques des (7 + p) premiers nombres, soient identiquement nuls. |

2° La condition est suffisante. — Pour le démontrer, prenons un système de quatre fonctions de quatre variables

MONT UE her A PAUSE Y=fi(x, 7,5, t), LE; Y,-2, 1), PP; 8, 1),

telles que le déterminant Pie or. of 9®, ;, dy )'3 ot fs dr Ua 0æ “dy 03 ot

fs Us da 0x 0Y 03 ot

of, di de de JO Y. 03, dt

soit nul identiquement. Supposons d’abord que l’un des mineurs D (fa, fe. fa) NOM FA)

tiquement. Des trois premières équations (46) on ure alors, en les

du premier ordre, à — par exemple, n’est pas nul iden-

résolvant par rapport à æ, 7’, 3,

(47) D= p(X, 7 Z, L), y = va(X, 4 L); 2 = ps(X, Y: Z, L'),

‘128 ° CHAPITRE Ill.

et par suite

(48) T = fi (vu; Vo, O3; l)— F(X, de Z, L).

Nous allons démontrer que celte fonction F ne contient pas la

; ; : 0F variable £, ou qu’on a identiquement = 0. On a, en effet,

0° FLE Of -0pr n0fs 000 ASS (49) de 07 où y oo JR

RE TETE ds . Ô d’ailleurs les dérivées , #3 des fonctions implicites CIE Par Ps

sont données par les trois Nt

Ofi 0%: Of 09 dfi 093 dfi 0® & 0y dt Tee Dr de dt Fe df2 dpi UE Op ‘dfa dp3 2e fa 0x 01. *10y dt z ôÔt dt

f3 D OT Te EE fa a Le - 0æ ot dy at 0z ot 074

Les relations (49) et (50) D un système de quatre équa-

tions linéaires en EE Rp ee * On en déduit aisément la vaot ” dt ot =

0F . V4 leur de —: en observant que, si l’on ajoute aux éléments de la

5 SEn a à , Ô dernière colonne de À ceux de la première multipliés par À, .« L2 C7 0 L] 4 ceux de la ra multipliés par <È et ceux de la troisième

oO multipliés par “3 2, lPreste 1 =; €n tenant compte des rela-

tions (50). Fe Ô n’est pas nul, il faut donc que F ne renferme pas la variable #, et par suite il existe entre les quatre foncions X, Y, Z, T une relation de la forme

On peut remarquer qu’il n'existe pas, entre ces quatrefonctions, d’autre relation, indépendante de x, y, z, #, qui soit distincte de la précédente. RL on en déduirait une relation entre X, Ÿ, Zet, par suite, le mineur à serait nul.

Passons au cas où tous les mineurs du premier ordre de À sont

Il]. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. 120

nuls identiquement, l’un au moins des mineurs du second ordre, s — D(isf2) D (x, y)

Des deux premières équations (46) on tire

» par exemple, n'étant pas nul identiquement.

æ — %1(X, ds &; t), J = palX, dE Z, L), et, par suite,

Lx, y, Z, Rat X NT z, t), = F,(X, de 3; t).