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r relations distinctes entre les x fonctions, et r d’entre elles peuvent s'exprimer au moyen des ? — r: restantes, entre lesquelles n'existe aucune relation.

Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer la proposition suivante, qui s'établit de la même façon. Pour que » fonctions de n + p variables indépendantes soient liées par une relation ne contenant pas ces variables, il faut et il suffit que les jacobiens de ces n fonctions, par rapport à x quelconques des variables indépendantes, soient tous nuls. En particulier, pour que deux fonctions F,(ti, Zoe, -.., Œn) et Fa(xis Loi. : Ta) SORERE RSS l’une de l’autre, 1l faut et il suffit que les dérivées partielles corres-

ondantes SU le P ÔT; 0; | P P :

Remarque. — Les foncuons F,, F;,..., F,, qui figurent dans

les énoncés précédents, peuvent dépendre en outre de certaines variables y,, Ya, .., Ym, différentes des variables 22 D (F1, EF», ie Fh)

Si le jacobien J Dre

est nul identiquement, les fonc-

ions F,, F,,..., F, sont liées par une ou plusieurs relations ne renfermant pas les variables x,, æ2, ..., æn, mais les autres variables y1, Yo, ..., ym figureront en général dans ces relations.

Le jacobien considéré est en effet identique au déterminant

DO, RP dau ces Nm) D(x:1, CHCMION) Ln, V1: V2: +. Vm)

Application. — Le théorème précédent est d'une grande importance en Analyse. Par exemple, il permettrait de démontrer la propriété fondamentale du logarithme, sans se servir de la définition arithmétique. On démontrera, en effet, au début du Calcul intégral, qu’il existe une fonction bien définie pour toutes les valeurs positives de la variable, qui se réduit

x L4 La e LA LA x I .

à Zéro pour # —1, et dont la dérivée est égale à —. Soit f(x) cette fonc &

tion; posons

u = f(æ) HG) TEE re on a

INGAAES

Das : À Ps

Il existe donc une relation de la forme

f(æ) + (y) = o(xy);

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