IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

56. Généralités. — Dans un grand nombre de questions d'Analyse, 1l arrive fréquemment qu’on est conduit à changer de variables indépendantes. Il faut alors pouvoir exprimer les dérivées prises par rapport aux variables primitives au moyen des dérivées prises par rapport aux nouvelles variables. Nous avons déjà traité un problème de ce genre à propos de l’inversion. La solution du problème général n’exige pas de principes nouveaux. Il suffit d'appliquer les règles qui donnent les dérivées des fonctions composées et des fonctions implicites. On simplifie beaucoup les calculs par l'emploi des différentielles totales, quand :l y a plusieurs variables indépendantes, en s'appuyant sur les remarques suivantes, que nous énoncerons, pour fixer les idées, en supposant qu'il y a trois variables indépendantes AS EC

1° Soient uw, #, w trois fonctions disunctes (c’est-à-dire entre lesquelles 1l n’y a aucune relation) de #, y, z; entre leurs différentielles totales du, dv, div, il ne peut exister aucune relauon de la forme

(52) À du + u de + y dw = 0,

à moins que les coefficients À, a, y ne soient nuls à la fois. En effet, en égalant à zéro les coefficients de dx, dy, dz dans la relation précédente, on a trois équations linéaires et homogènes en À, u,w, et le déterminant des coefficients de À, u, y est précisément le D (u,v,æ)

Dre).

2° Soient w, u, , @ quatre fonctions des trois variables indé= D'(u,v,w) D (x, y, 4) inversement exprimer æ, y, 3 en fonction de w, P, w, et en portant ces valeurs de x, y, 3 dans w, on obtient une foncüon

jacobien

pendantes x, y, 3, telles que ne soit pas nul. On peut

ù = bu, p, w)

des trois variables w, », w. Si, par un moyen quelconque, on & obtenu entre les différentielles totales dw, du, de, dw, prises, par rapport aux variables indépendantes x, y, z, une relation