IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

de la forme dw = P du + Q de + R dw,

les coefficients P, ©, R, sont égaux respectivement aux dérivées partielles de Du, v, æ),

Ado e 0w

On sait, en effet, d’après la règle qui donne la différentielle totale d’une fonction composée (n° 26), qu’on a bien

et1l ne peut pas exister entre do, du, de, dw une relation linéaire distincte de celle-là, car on en déduirait une égalité de la forme (52) entre du, dv, dw, où les coefficients À, 1, ÿ ne seraient pas Lous nuls ; ce qui est impossible, d’après la première remarque.

Nous allons appliquer ces principes généraux en passant en revue les problèmes qui se présentent le plus souvent.

97. Problème I. — Soit y une fonction de la variable indépendante x. On prend une nouvelle variable indépendante t, liée à x par la relation x —=o(t); on propose d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à x au moyen de tet des dérivées successives de y par rapport à t.

Soient y — f (x) la fonction considérée etF(4) = f{o(e)] ce que devient cette fonction quand on a remplacé x par ©(t). D'après la règle qui donne la dérivée d’une fonction de fonction, on a

dy ; nr et 10) d’où l’on tire dy dt ÿe

ce qui peut s’énoncer ainsi : pour avoir la dérivée de y par rapport à x, on prend la dérivée de cette fonction par rapport à t, et on la divise par la dérivée de x par rapport à t.

: SR d? : à On obtiendra la dérivée seconde — en appliquant la règle

précédente à l'expression qui vient d’être obtenue pour la dérivée

pre mière

ARE Roy EN TIC ET AO) dei :pÂt) [?G)P É

une nouvelle application de la même règle donnera la dérivée du troisième ordre CS TR dy di (Ya)

ou, en effectuant les calculs,

By role OP- Sr r (08 (0) +Sple OP pee (0)" (2) GA FAGIE

Ces dérivées successives se calculeront, de proche en proche, par l’application de la même règle; d’une manière générale, la dérivée d’ordre n de y par rapport à æ s'exprime au moyen de D'(4), o’(4), ..., wtt)(£) et des dérivées successives de“. par rapport à &, Jusqu'à celle d'ordre 2. On peut mettre les formules précédentes sous une forme plus symétrique ; désignons par dx, dy, dx, d'y, ..., d'x, d'y les différentielles successives de x et de y prises par rapport à la variable £, et par y/, y, 7 les dérivées successives de y par rapport à +; les formules précédentes peuvent s’écrire

; d J'=% , dx dy dy dx RÉEL A VÉCPRRE da es dy dx? — 3 d'y dx x +3 dy(d?x) — dy dx dx

0006000 9 np 0 9 9 9 6 8" 0.» + & ce tele es 608 me 0 ee 0 5/5 » 0e 6 1e ; ve ee

La variable indépendante £, par rapport à laquelle sont prises les différentielles qui figurent dans les seconds membres de ces formules, est absolument quelconque, et l’on passe d’une dérivée