IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

à la suivante par la loi de récurrence

= d[yt-1] EC RE LT Fri À

dx

Fa

où le second membre est le quotient de deux différentielles.

98. Applications. — On se sert de ces formules pour étudier une courbe plane, lorsque les coordonnées d’un point de cette courbe sont exprimées au moyen d’une variable auxiliaire £,

La JA) PCT):

pour étudier celte courbe dans le voisinage d’un de ses points, il faut pouvoir calculer les valeurs des dérivées successives y’, y”, …. de y par rapport à æ pour le point considéré. Or les formules précédentes nous donnent précisément ces dérivées exprimées au moyen des dérivées successives des fonctions f(£) et w(£), sans qu'il soit nécessaire d’avoir l'expression explicite de y en fonction de æ, ce qui pourrait être pratiquement impossible. Ainsi la première formule

donne le coefficient angulaire de la tangente; la valeur de y”intervient dans un élément géométrique important, le rayon de courbure, qui a pour expression

RE Lee 8 RER

Pour avoir la valeur de R lorsque les coordonnées x et y sont données en fonction d’un paramètre #, il n’y a qu'à remplacer y’ et y” par les expressions précédentes, et il vient ainsi

F) z: Card )à [dx d'y — dy &x|?

le second membre ne renferme que les dérivées premières el secondes de x et de y par rapport à £.

Voici, au sujet de cette question, une remarque intéressante que j'em— prunte au Traité de Calcul différentiel et intégral de M. J. Bertrand (LI, p.170). Imaginons qu’en calculant un élément géométrique d’une courbe plane, dont les coordonnées + et y sont supposées exprimées au moyen d’un paramètre {, on ait obtenu l’expression

Fix, y, da, dy, di, d'y," 0e PO

toutes les différentielles étant prises par rapport à {. Puisque, par hypothèse, cet élément a une signification géométrique, sa valeur ne doit pas dépendre du choix de la variable indépendante #. Or, si l’on prend æ =, on doit faire dx = dt, dx = dx = ...=— dx — 0, et l'expressionprécédente devient

J(æx, JP Y' AE 8 ha)

c'est le résultat qu’on aurait obtenu en supposant tout d’abord que l’équation de la courbe considérée est résolue par rapport à y, soit y=æb(x). Pour remonter de ce cas particulier au cas où la variable indépendante est quelconque, il suffit de remplacer y, y”, y”, ... par leurs valeurs tirées des formules (53). En effectuant cette substitution dans