HORS AD

on devra donc retrouver l'expression F (x, y, dx, dy, d?æ, d?y, ...) d’où l'on est parti. S'il n’en est pas ainsi, on pourra affirmer que le résultat obtenu est erroné. Par exemple, l'expression

dx dy + dy dx (dx? + dy? )?

ne peut avoir, pour une courbe plane, de signification géométrique indépendante du choix de la variable; car, si l’on suppose x = #, cette expres-

sion se réduit à 3; et, en remplaçant y' et y” par leurs valeurs (1 + y'2)2

tirées des formules (53), on ne retrouve pas l’expression précédente.

. On se sert aussi fréquemment des formules (53) dans l'étude des équations différentielles. Supposons par exemple qu'on veuille déterminer toutes les fonctions y d’une variable indépendante x qui salisfont à la relation

dy d ; (54) GÉEMRS — 2 + ny =0,

où » est constant. Prenons une nouvelle variable indépendante é,

IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 137 en posant æ —Cos{;ona A dy dt dx — siné | Pre dy Œy Sin é de CO de? — sin$ { c

(55) CT 4 ny = 0.

Il est facile de trouver toutes les fonctions de # qui satisfont à cette

relation, car on peut l'écrire en multipliant par 2

4 PY Pme A TRE Dany TS) er

RER dé 0:

on doit donc avoir ASE (%) + n?y?=— n?a?,

a désignant une constante quelconque, et par suite