ri =. = nya? y?, ou dy dt

Fe «a que cette différence soit égale à une nouvelle constante D, et l’on à

Le premier membre est la dérivée de arc sin nt; il faut donc

y = æsin(nt+b); ce qui peut encore s’écrire PA sin nt + B cosnt.

En revenant à la variable primitive +, on en conclut que toutes les fonctions de x qui vérifient la relation proposée (54) sont comprises dans la formule

y =Asin(n arc cosæ) + B cos(n arc cosx),

À et B désignant deux constantes arbitraires.

dx?

99, Problème I. — À toute relation entre x et y, les formules de transformation x = f{t, u), y =e(t, u) font correspondre une relation entre t et u. On propose d'exprimer les dérivées de y par rapport à x au moyen de t, u, et des dérivées de u par rapport à t.

Ce problème se ramène immédiatement au précédent, en remarquant que les formules de transformation

D'LA, y = (1, u)

nous donnent les variables primitives x et y exprimées au moyen de la variable £, si l’on imagine qu’on ait remplacé w dans ces formules par sa valeur en fonction de t. Il suffira donc d'appliquer la méthode générale, en regardant toutefois x et y comme des fonctions composées de £, la lettre & jouant le rôle d’une fonction intermédiaire. On a d’abord

dy. L'aide ot | du di (Tr RATER of" dfSdu

t ou di puis d'y __ d {dy\ dr dx? dit (2) Ai

ou, en effectuant les calculs,

APS rer MIT EPT TRES dt FEES dt? de ou

of of du\? (f+ie) |

oe?

( of a) Ée 9 du d?v (Se) 00 d'u (5 de ) GE

D'une facon générale, la dérivée nième y} s'exprime au moyen rs NO du de t, u, et des dérivées SE Supposons, par exemple, qu’on ait l’équation d’une courbe en coordonnées polaires p — f (w). Les formules qui donnent les coor-

données rectangulaires d’un point sont les suivantes : æ = p COS, = psin tes

4e ne ; soient 2, 0°, ... les dérivées successives de o prises par rapport à w,

di