IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
considérée comme variable indépendante. On tre des formules précédentes
dæ = cosw do — 9 sinw du, dy —= sinw do +9 cosw dw, d?æ = cosw d?p — 2 sinw dw do — p cosw dw?,
d'y = sinw d'9 + 2 cosw dw de — p sin W du?
et, par suite, dx? + dy?= do? + 0? duw?, dx d'y — dy dx = 2 dw dp?— p dw d?p + p? dus.
L'expression du rayon de courbure obtenue plus haut devient
non.
DANONE?
TO
60. Transformation des courbes planes. — [Imaginons qu à tout oint »m d’un plan on fasse correspondre, d’après une construction P AP déterminée, un autre point M du même plan; si l’on désigne par (æ, y) les coordonnées du point m, par (X, Ÿ) les coordonnées du point M, on a entre ces coordonnées deux relations telles que
Ces formules définissent une transformation ponctuelle; la Géométrie en offre de nombreux exemples, tels que la transformation homographique, la transformation par rayons vecteurs réciproques, etc. Lorsque le point »m décrit une courbe c, le point correspondant M décrit une autre courbe C, dont les propriétés peuvent se déduire de celles de la courbe c et de la nature de la transformation employée. Soient 7’, y”, ... les dérivées successives de y par rapport à æ, et Y', Y”, ... les dérivées successives de Y par rapport à X; pour étudier la courbe C, il est nécessaire de pouvoir exprimer Y/, Y”,... au moyen de æ,y,ÿ', y”, .... C’est précisément le problème que nous venons de traiter; on a
d’abord dY do 0p., dx 0x OV IX ere dx 0x Uà
Le
ARR NV ieus \ F pr (E+br) CE RE TN CT Ter CA dx DATE SON à dx 0x dy
et ainsi de suite, On voit que Y'ne dépend que de x, KV EI donc on applique la transformation (56) à deux courbes C\ECR tangentes au point (æ, y), les courbes transformées C, C, seront tangentes au point considéré (X, Y}). Cette remarque permet de remplacer la courbe c par toute autre courbe tangente à celle-là, quand il s’agit seulement de trouver la tangente à la courbe transformée C.
Considérons, par exemple, la transformation définie par les formules
vie HE ne ky a+ y? ain pe”
qui n’est autre qu’une transformation par rayons vecteurs réci-
proques ou znpersion, avec l’origine pour pôle. Soient » un point d’une courbe c et M le point correspondant de la courbe C. Pour trouver la tangente à cette courbe C, nous n'avons qu'à appliquer ce résultat de Géométrie élémentaire, que la figure inverse d’une ligne droite est un cercle passant par le pôle d’inversion.
Si nous remplacons la courbe € par la tangente mt, la figure
inverse de mt est un cercle passant par les deux points MetOet
dont le centre A est situé sur la perpendiculaire O 4 abaissée de
As
