IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
l’origine sur mt. La tangente MT à ce cercle est perpendiculaire à AM et les angles Mmt, mMT sont égaux comme complémentaires de l'angle mOt. Les tangentes mt et MT sont donc antiparallèles par rapport au rayon vecteur.
Gl. Transformations de contact. — Les transformations précédentes ne sont pas les plus générales qui changent deux courbes tangentes en deux autres courbes langentes. Imaginons que de tout point m d’une courbe c on déduise un autre point M par une construction déterminée qui dépende, non seulement du point m, mais de la tangente en ce point. Les formules qui définissent cette transformation sont de la forme
(57) MEN LE 78 EU 0e Vibes. )
et le coefficient angulaire Y'de la tangente à la courbe transformée a pour expression
En général, Y' dépend des quatre variables æ, y, y’, 7"; si l’on applique la transformation (57) à deux courbes c, €, tangentes en un point (x#,y), les courbes correspondantes G,.C, auront un point commun (X, Y), mais elles ne seront pas tangentes, à moins que y” n'ait la même valeur pour les deux courbes € et ci. Pour que les deux courbes G, G, soient toujours Langentes, en même temps que les courbes c et c,, il faut et il suffit que Y'ne dépende pas de y”, c'est-à-dire que les fonctions f(x, y, y!) eto(x, Y,Y) satisfassent à la condition
DNA or T of à da D dr
on dit alors que la transformation considérée est une transformation de contact. Il est clair qu'une transformation ponctuelle est un cas particulier des transformations de contact (!).
(2) Legendre et Ampère avaient donné de nombreux exemples de ces transformations. Sophus Lie a développé la théorie générale dans différents travaux. (Voir, en particulier, Geometrie der Berührungstransformationen ; voir aussi Jacopr, Vorlesungen über Dynamik.)
Considérons, par exemple, la transformation de Legendre qui consiste à faire correspondre à un point (x, y) d’une courbe c le point M de coordonnées
xX ie Fr res ZY'—Y;
on déduit de ces formules
ce qui montre bien que cette transformation est une transformation de contact. On aura de même
AR dx y" dx De
y" AI d\“" VS
TR
et ainsi de suite. On déduit des formules précédentes re Y, y NE
ce qui prouve que la transformation est réciproque. Toutes ces propriétés s'expliquent aisément si l’on remarque que le point de coordonnées X — y/, Y — ZY'— y est précisément le pôle de la tangente à la courbe c au point (æ,7) par rapport à la parabole %°— 27 = 0. Or, d’une manière générale, si l’on prend le pôle M de la tangente en m à une courbe ce par rapport à une conique directrice 3, le lieu du point M est une courbe C dontla tangente au point M est précisément la polaire du point m par rapport à 3. Ïl y a donc réciprocité entre les deux courbes c et C; d’ailleurs, si l’on remplace la courbe c par une autre courbe c, tangente à c au point »2, la courbe réciproque C, est tängente à la courbe C au
point M.
Podaire. — Si d'un point fixe O, pris dans le plan d’une courbe c, on abaisse une perpendiculaire OM sur la tangente au point » à cette courbe, le lieu du pied M de cette perpendiculaire est une courbe C qui est dite la podaire de la première. I serait facile d'obtenir par le calcul les coordonnées du point M, et de vérifier que la transformation ainsi obtenue est une transformation de Contact, mais on y arrive plus simplement comme il Suit : Considérons, en effet, un cercle + de rayon R décrit du point O comme centre, et soit my un point pris sur OM et tel que Om x OM = R?.
be.
