IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Le point m, est le pôle de la tangente mt par rapport au cercle y; de sorte que la transformation qui conduit de c à C résulte d’une transformation par polaires réciproques, suivie d’une inversion. Lorsque le point rm décrit la courbe c, le point m1, pôle de mt, décrit une courbe c; tangente à la polaire du point » par rapport au cercle y, c'est-à-dire à la droite mit perpendiculaire sur Om. La tangente MT à la courbe CG et la tangente mit:

à la courbe c; font des angles égaux avec le rayon vecteur Om, M; si donc nous menons la normale MA, les angles AMO, AOM sont égaux comme compléments d’angles égaux, etle point A est le milieu du rayon On. D'où l'on conclut qu'on obtient la normale à la podaire en joignant le point M au milieu de On.

62. Transformations de contact générales. — Si les formules (57) définissent une transformation de contact, ne se réduisant pas à une transformation ponctuelle, l’une au moins des fonctions f et © dépend de y”. Supposons, par exemple, que f renferme la variable y’; en tirant y’ de la première des relations (57) et en substituant dans la seconde, on peut écrire ces équations sous la forme équivalente

On en déduit

= (e dp ,\ dr , 0® aX ox 07” ]aX XX Or dX __ of of FA CPR.

dx 0x 0y Toy?

dépend de y"; pour que ne dépende que de #, y, y', il faut nécessaire -

ment que les valeurs de X et de Y fournies par les formules (58) vérifient aussi la relation 0 " op 0x OV

et, comme celle-ci ne renferme que x, y, y’, X, elle doit être identique à la première des équations (58).

Inversement, soit F(x,7; X, Y) une fonction des deux couples de variables (x, y), (X, Y). Si les deux équations