BIC D

Exemple I. — Considérons l'équation (Ga: 024) L 0? w " o2) L I A ——.+ 9% 0 Ca / 0x? 0x-0y dy? :

nes: L: | 10

où les coefficients &, b, c sont constants; nous allons chercher à ramener cette équation à une forme aussi simple que possible. Observons d’abord que, si l’on avait à la fois a = c = 0, il serait supertlu de chercher à simplifier l'équation; nous pouvons donc supposer que c, par exemple, n’est pas nul. Cela étant, prenons deux nouvelles variables indépendantes w et»,

U—=T+ay, v=v+$y, a et B étant deux coefficients constants indéterminés. On a aussitôt

du ou ow 0x ou E d6 ”

duw ou du 97 = HE Sin Pre

de sorte qu’on a, dans ce cas, À = B=1, CO —=a, D — $. La méthode géné” rale donne ensuite

02w o2u) 0? w d?uw

— = — + — + — 0x? ou? du dp op? ?

220 En +8) 02 0) he = d x 0 0Y JUNE du de | Ÿ de?” 02 w : à 9? uw ‘ae — =? — + 2 — 2 — oy25 du? ou dv op? ?

et l'équation proposée devient 9?) a+2ba+ca?

( er 9? uw) 92 w -ofla+b(a+8)+c23 +(a+2b8 + cf? = F5 [ ( B) Flo dv ( 5 p ) Cela posé, plusieurs cas sont à distinguer :

Premier cas. — Soit b?— ac =>o; en prenant pour a ct P“les-deux

racines de l’équation a+2br+cr?= 0,

l'équation prend la forme simple

oudw — %

dp \ du tion de la seule variable w, soit f(u). Désignons par F(w) une fonction de u dont la dérivée F'(u) = f(u); la dérivée de w —F(u) par rapport à &w étant nulle, cette différence est indépendante de w, et l’on à par con=« séquent w — F(u) + b(v). La réciproque est immédiate, En revenant aux

if 9 f0w Û dw a Comme on peut l'écrire — ( —"0, on voit que — doit être une foncu