IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
variables + et y, on en conclut que toutes les fonctions w qui satisfont à l'équation (61) sont de la forme
= F(v+ay)+P(r+By),
les fonctions F et æ étant arbitraires. Par exemple, l'intégrale générale de l'équation
220 224 FINE Les y 0x
qui se présente dans la théorie des cordes vibrantes, est D — F(r+ay)+b(x— ay).
Deuxième cas. — Soit b2— ac —0o. En prenant x égal à la racine double de l’équation a+2br+cr?=0o, et prenant & différent de œ, le
sera nul, car il est égal à & + ba + B(b + ca); l’équaà PAT: 22) ton se réduira donc à
dv?
linéaire de ©, w© = e f(u) + o(w), les fonctions f(u) et o(u) étant quelconques; en revenant aux variables x et y, l'expression de w est
fficient d coefficien Serre
—0. On voit que w doit être une fonction
o=(r+Py) fr +ay)+p(r+ar), ce qui peut s’écrire B=(rter (8 a)yrl/ (x +ay) +p(s+ay),
ou encore w=yEF(T+ay)+b(r +ay).
Troisième cas. — Si b?— ac<o, la transformation précédente ne s'applique plus, à moins d'introduire des variables imaginaires. On peut alors déterminer « et 8 de telle façon qu’on ait
a+20a+c=a+2b8 +cf?, a+ b(a+ 6) + cal = 0,
ce qui donne 2 0
202— ac RER a = ——;
ce?
l'équation du second degré, qui a pour racines x et 6,
a, en effet, ses racines réelles, L’équation proposée devient alors
GED) 22 w) ou? dv?
1438 CHAPITRE Il.
cette équation Ajù = 0, connue sous le nom d’équation de Laplace, joue un rôle fondamental dans un grand nombre de questions d'Analyse et de Physique mathématique.
Exemple II. — Cherchons ce que devient l'équation précédente en posant æ = p cos, y = psin®. On a
TS L cosg + sing
de ” 0x dy É
dw ss 0w ; dw
de TT or MÉTRO
.: dw | 0x”: 0y
QUES dw sing dw 5 — COS 02 = u 0e ?
dW 1e dW cosp dw dy — “7 ?9 p 09 Il vient ensuite 02 d dwW sinv dw sing 0 dw sing dw D Ve CHA der ne re FF cos? FRE Fr 0x P ? p dv o 0 ? p dp ot AD 02 w 2 sing cos® 02w à PAU p? op? p dp 09 2 sin cos? du sin?o dw.
p? dp p.008
: CEND) à | on à une expression analogue pour al et, en les ajoutant, on trouve
d?uw 02 w 02 w 1 d2w I 0w
GT op op pop | pop
64. Autre méthode. — La méthode précédente est la plus pra tique, lorsque la fonction, dont on cherche les dérivées partielles, | n’est pas connue; mais, dans certaines questions, il est plus avan= tageux d'employer le procédé suivant : |
Soit 3 f(x; J') une fonction des deux variables indé e dantes x ét.y5 s16 00 suppose x, y el 3 exprimées au moyen de deux variables auxiliaires &w et +, on a entre les différentielles
totales dx, dy, ds la relation | + SAUT RAS a |
IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 149 qui est équivalente aux deux relations distinctes ds fox op ou 0x du 0y ou” 03 __df x Ôf Le d0 0x 0 0y 0° L s 0 0 ‘ 03 d d’où l’on tirera LA et Ÿ en fonction de U, 0, — — comme dans 0x OV ou dv
la première méthode. Mais, pour calculer les dérivées suivantes, nous continuerons à appliquer la même règle; ainsi, pour cal-
et
es y nous partirons de l'identité
dx? 0x 0
qui est équivalente aux deux relations
ou 0x? du dx dy du Ô (2)
ox À f 0x erCay TER — de? d TT 5x0y 0
où l’on suppose que -= a été remplacée par son expression déjà PP ES P P P J
, 0? 0? 7 ? r calculée. On trouvera de même —— ire et J en partant de l'identité d%0y. “o0y?
a(#) - Etre + ay, 0Y 0x dy dy?
of
et les deux valeurs obtenues pour doivent être identiques, ce
ox x 0Y qui fournit une vérification des calculs. Les dérivées d'ordre supé-
rieur se calculent de la même facon.
Application aux surfaces. — On se sert du calcul précédent dans l'étude des surfaces. Supposons que les coordonnées d’un point d’une surface S soient exprimées en fonction de deux paramètres variables uw, #, par les formules
(62) Pie El ), VE QUU, v), 2 VA, b);
on obtiendrait l'équation de cette surface en éliminant les va-
150 CHAPITRE Ill.
riables w et » entre les trois équations (62), mais on peut se proposer d'étudier directement les propriétés de la surface S sur ces équations elles-mêmes, sans effectuer l'élimination qui peut être pratiquement impossible. Remarquons d’abord que les trois jaco-
D(, Me Die D (JF; Ÿ) D(u,v) u,v) D(u,v)’ Du, +) l'élimination de w et » conduirait à deux relations distinctes entre +, y, 3, et le point de coodonnées (x, y, 3) déerirait une
courbe et non une surface. Soit, pour fixer les idées,
biens ne peuvent être nuls à la fois, car
Dex NO
des deux premières équations (62) on peut alors imaginer qu'on ait tré w ete, et, en les portant dans la troisième, on aurait l’équaüon de la surface z = F(x, y). Pour étudier cette surface dans le voisinage d’un point, il faut pouvoir calculer les dérivées partelles p, g, r, s, t, .… de cette fonction F{x, y) au moyen des paramètres u, v. Les dérivées premières p et q s’obtiendront au moyen de la relation dz = p dx + q dy,
qui se dédouble en deux équations
; PA e po a dE (63) | u ou oŸ “ ASS À D Bye
permettant de calculer p et q. L’équation du plan tangent 5 "obtiendra en portant ces valeurs de p et de q dans l équation
L—z=p(X—-x)+qg(Y—7y),
ce qui conduit à /’ équation
é ( T2 D GDS +0 RER + GP D =
Les relations (65) ont une signification géométrique facile à retenir; elles expriment que le plan Due contient les tangentes aux 1x courbes situées sur la surface, qu’ on obtient en laissant
