Supposons acquise la notion de nombre incommensurable

on dil qu'une suite indéfinie de quantités réelles, commensurables

ou non,

tend vers une limite, A, lorsque, étant donnée une quantité positive, £, aussi petite que T.on veut, on peut assigner un nombre N, tel que, pour toute valeur de n supérieure ou égale à N, on ait

inod(an — A)<e,

le symbole mod désignant la valeur absolue de an — A. Par H. I

exemple, les nombres

10 lOO lOOO 10 000

tendent vers Tunité.

Si Ton considère deux suites,

^i> ^f » • • • » ^rtî • • • 1 ^ii ^f » • • • » ^/ii • • •

ayant pour limites respectives A et B, on voit aisément que :

1° Les quantités a^ ± bn ont pour limite A ±: B^ 2^ Les produits anbn ont pour limite AB;

S** Les quotients ~ ont pour limite -^> à condition toutefois

que B ne soit pas nul. Si B = o et A ^ o, la valeur absoluis de ■— croît évidemment au delà de toute limite.

Des quantités en nombre illimité, qui vont sans cesse en croissant, ou qui du moins ne décroissent jamais, et qui restent inférieures à un nombre fixe, tendent vers une limite finie et déterminée : on sait que c'est ainsi que Ton définit un nombre incommensurable à Paide d'une suite de nombres commensurâbles.

Le même résultat subsiste pour des quantités décroissantes, qui restent supérieures à un nombre fixe.

2. Théorème du maximum et du minimiim — Soit une suite (S) de quantités

en nombre limité ou illimité, ayant ou non une limite, mais toutes inférieures à un nombre fixe N.

Si elles sont en nombre limité, Tune d'elles est supérieure, ou au moins égale, à toutes les autres ; mais il peut en être autrement dans le cas d'une suite illimitée, comme le montre immédiatement l'exemple de la suite (i)

lO 100 lOOO lOOOO