CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES

Je dis que, dans tous les cas, les quantités (S) possèdent un maximum, c'est-à-dire qu'il existe un nombre M, jouissant des deux propriétés suivantes :

i** Aucune des quantités (S) ne dépasse M ;

a® Tout nombre M', inférieur à M, est surpassé par certaines de ces quantités.

Le maximum pourra être atteint ou non atteint. Il sera atteint si M est une des quantités de la suite, et ce cas se présente toujours lorsque ces quantités sont en nombre limité; il sera non atteint si M n'appartient pas à la suite, celle-ci étant alors illimitée. Par exemple, les quantités de la suite (i) admettent l'unité pour maximum non atteint, car aucune n'est égale à i ni ne dépasse i, et tout nombre inférieur à i est surpassé par certaines d'entre elles.

Pour établir la proposition, partons du premier entier inférieur au nombre fixe N et descendons la série des entiers jusqu'à ce que nous arrivions à un entier Eq, atteint ou surpassé par une au moins des quantités (S). Si Eo est atteint et non surpassé, c'est le maximum cherché 5 s'il est surpassé, ajoutons-lui le plus grand nombre possible de dixièmes, de manière à obtenir une somme,

E| = Eo-I ^> atteinte ou surpassée par une au moins des quan-

tités (S) : d'après cela, le nombre E| H n'est atteint ou surpassé

par aucune de ces quantités; de plus l'entier e\ est inférieur à 10, puisque, par hypothèse, Eo-l-i est supérieur à toutes les quantités considérées. Si le nombre E, est atteint et non surpassé, c'est le maximum; sinon, ajoutons-lui le plus grand nombre possible de centièmes, de manière à obtenir une nouvelle

somme, E2= E| H > atteinte ou surpassée. En continuant ainsi ,

on arrive, soit à prouver l'existence d'un maximum (atteint), soit à former une suite de nombres, dont le terme général est

H/ rr: liQ -J 1 -h . . . -f- — -, ,

les Ci étant inférieurs à 10 : ces nombres jouissent de la propriété

que E/ est surpassé par certaines des quantités (S) et que E/-h ■ — %

n'est atteint ou surpassé par aucune.

Les nombres E/ allant en croissant et demeurant inférieurs à Eq-I-i ont une limite M, supérieure à chacun d*eux; je dis que M est le maximum (atteint ou non atteint) des quantités (S). En effet :

!** Aucune des quantités (S) ne dépasse M ; car si Tune d'elles, a, le faisait, la différence a — M serait supérieure à une fraction de

la forme --> de sorte que a surpasserait le nombre M-\ 7, et

a fortiori le nombre E/H .; ce qui est contraire à l'un des ré-

sultats précédents;

2* Tout nombre inférieur à M est surpassé par une au moins des quantités (S) : il suffit évidemment de l'établir pour un nombre supérieur à E^ ; or un tel nombre, étant compris entre deux nombres E, et E/^i, est surpassé par celles des quantités (S) qui surpassent elles-mêmes E/^i .

On reconnaît de même que des quantités supérieures à un nombre fixe possèdent un minimum, atteint ou non atteint; toujours atteint, bien entendu, dans le cas de quantités en nombre limité.

Fonctions continues d'une ou de plusieurs variables,

3. Continuité. — On dit qu'une fonction réelle et déterminée, /{j^)y est continue pour une valeur Xq de la variable, lorsque, étant donné uu nombre positif, £, aussi petit que Ton veut, on peut assigner un nombre positif, yi, tel que, pour toutes les valeurs de x comprises entre Xq — y^ et XQ-hri (ces dernières incluses), on ait

(2) mod[/(x)-/(xo)]<t.

On peut écrire aussi, en désignant par Q une quantité comprise entre — i et -h 1,

(3) /(a:) = /(a7o)-Hee.