CHAPITRE V. — SÉRIES. i^y

On a d^aillcurs

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el, en changeant Tordre des termes, ce qui est permis, puisque la série des modules converge quel que soit z (n° 147),

r 'est- à-dire

e'-= cosz -4- I sinj,

pour toutes les valeurs, réelles ou imaginaires, de z. On en déduit, en changeant -s en — ^ (*),

<roù

«Cj

eiz ^ g-iz

formules célèbres découvertes par Euler. En les dérivant on

trouve

(cos5/ = — sin-5, (sin5/=cos3;

et, en les élevant au carré et ajoutant,

cos^z ■+- s'in^z = I.

Les formules d'addition,

sin(a-f-6)= sîna cos6 -4- sin6 cosa, cos(a -h b)= cosa cos6 — sinasin^,

s'étendent aussi au cas de a et 6 imaginaires : il suffît de remplacer dans ces formules les sin et les cos par leurs valeurs (6) en expouenlielles; on obtient des identités.

131. Périodicité. — La fonction e= admet l'd période air/, c'eslà-dire ne change pas quand on augmente z de 21:/. En cflTet

( ' ) En eflTet, en vertu des définitions (4) et (5), la fonclion cosz est paire cl la fonction sinz impaire, c'cst-à-dirc que cosz ne change pas et que sinz change de signe, quand on change z en — z.

l48 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Les fonctions sin.3 et cosz admettent la période 2 7w, car e'* et e~^^j qui figurent seuls dans les formules (6), admettent celte période.

De même, en changeant ^ en :; + ict , on a

g2H-ii/__ cs(cosu -h t sinu) = — C-;

et, en changeant z en z -\-tz dans (6),

cos{5-hir)= — C0S5, sin(-s-hit)= — sinz;

formules dont on déduit, en remplaçant >? par — z, et observant

que cos( — z)=: cosz; sin( — ^) = — sins,

cos(u — ^) = — C0S5, sin(it — z)=s\nz; comme dans le cas où z est réel.

152. Fonction tang;;. — On définit cette fonction parla relation

s'inz

tangc