CHAPITRE V. — SÉRIES. l

celte définition, qui coïncide avec celle de e^ pour x réel, permet, oomme on va le voir, détendre au cas d^une variable imaginaire l^s propriétés établies en Algèbre élémenlair«.

147. Cercle de convergence. — Le rayon du cercle de converë:ence de la série de puissances (2) est infini; c'est-à-dire que le

terme général °—^ de la série des modules reste fini, quel que soit p,

<)uand n augmente indéfiniment.

En effet, ce terme est le terme général de la série convergente

réelle, égale à eP, i -h ° + — — [-•••; il a donc pour limite zéro,

quel que soit p, pour n infini.

D'après le n° 14i, e^ est donc une fonction continue de z dans tout le plan.

US. Dérivée. — D'après le n** 143, la dérivée de e^ par rapport à z s'obtient en dérivant ternie à terme la série (p.); on trouve ainsi une série identique, c'est-à-dire que

On reconnaît de même, que

a étant une constante réelle ou imaginaire.

449. Multiplication. — On sait, si u et v sont réels, que ^«+«' = e"e*'; cette formule subsiste pour u et v imaginaires. En effet, les deux séries qui définissent e" et e*', à savoir

étant absolument convergentes, leur produit s'obtiendra (n° 133) en ajoutant, dans un ordre quelconque, les produits d'un terme de l'une par un terme de l'autre. Groupons ensemble les termes d'ordre n en u et v dans le produit; ces termes sont

l4G PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ce qui s'écrit

ou encore

ni

On a donc

'^ ^ I 1.2 /Il

Corollaires. — i" La proposition s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de facteurs exponentiels; par exemple

•>/' La fonction e~" est l'inverse de e"^ car

e'* e-'* = e'*-« = gO = i .

3** Si m est entier et positif, la puissance m'*"* de e" est le produit de m facteurs, égaux à e"; donc

cl la même formule subsiste, en vertu de 2°, si m est entier et négatif, car (e")~'^ est, par définition, l'inverse de (e")'".

Si m n'est pas entier, la formule doit être complétée; on y reviendra plus loin (n° 160).

150. Fonctions circulaires. — Ces fonctions, cos^ et siD>3, se définissent, pour z imaginaire, par les séries de puissances connues lorsque z est réel :

(4) sin;5 = 5 — Y? "^ ~ — •••»

îl "^4!

séries qui sont convergenles dans tout le plan (n** 147). Ce sont donc deux fonctions continues pour toutes les valeurs de 2, et qui coïncident, lorsque ;; est réel, avec les fonctions tiigonométriques classiques; on a en particulier

cos2r = I et sin2~ = o.