CHAPITRE V. — SÉRIES. l

après développement de la puissance du binôme et séparation du réel et de l'imaginaire, les expressions classiques de cosm^ et sinmz :

cos/?i3 = cos"»-5 j m(m — i) cos"»-'^sin'^

-+- —, m ( m ~ I ) ( m — •>. ) ( m — 3 ) cos"»-*^ sin*^ — . , . ,

sinm^ = — ^cos"«-*5 s'inz — —jm{m — i)(/n — 2)cos'"-'-8 sin'^ -H. . ..

2** Réciproque, — Proposons-nous d'évaluer, réciproquement, sin'"^ et cos'^^s en fonction des sinus et des cosinus des multiples entiers de z. On a, en partant de (6),

et, en réunissant les termes équidistants des extrêmes, ( 8) a'^cos"»^ = icos mz -+- 2/ncos(/n — i)z -h. . ..

Si m est impair, le second membre de (7) a un nombre pair de

termes qui s'associent deux à deux; si m est pair, il y a un terme

médian, indépendant de z^ qui terminera le développement (8),

et qui a pour valeur

On trouve de même, si m est impair,

{ii)'^î\xi"*z = 2esinm^ — %ims\n{m — 2 )-5 -♦-...;

et, si m est pair,

(v5t)"*sin'»;: = icosm^ — im cos(/n — 2)5 -f-. .,4- ( — 1)«

l5o PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.