I. — GÉNÉRALITÉS

154. On vient de rencontrer, avec les séries de puissances, un premier exemple de fonction d*une variable imaginaire; il importe d'étendre ce résultat en définissant, d'une manière générale, ce que Ton doit entendre par fonction de x-i-yi] on verra, principalement dans le Cours de seconde année, que la plupart des progrès de l'Analyse au xix* siècle reposent sur cette extension.

Soit donc z = x-\'yi une variable imaginaire; toute fonction P -f- Q*, où P et Q sont des fonctions réelles de a:, y^ est, au sens strict du mot, une /onction de ^, puisque si l'on se donne z^ c'està-dire X et^, les fonctions P et Q sont déterminées. Mais c'est là une notion trop générale, dont le développement reviendrait évi> demment à la théorie des fonctions de deux variables réelles ^ et ^ ; le symbole imaginaire i ne jouerait qu'un rôle factice et compliquerait sans profit les raisonnements : si donc on veut étendre la théorie des fonctions d'une variable réelle, il sera nécessaire de particulariser les fonctions P et Q, en cherchant, si c'est possible, à donner à l'expression P-f-Qt quelqu'une des propriétés dont jouissent les fonctions réelles d'une seule variable, et voici, à ce point de vue, la conception de Cauchy.