CHAPITRE VI. — FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAIRE

celle quanlilé à raccroissement de la variable r, ou X'-\-iy^ est

(ôP^.ôq

€iP-^idQ \dx dx

(Lr -+- i dy dx -r- i dy

Il dépend non seulement de ^ et j^ (c'est-à-dire de z) mais encore du quotient ^» de sorte que le rapport de Taccroissement

de la fonction à Taccroissement de la variable ne tend pas vers une limite déterminée dépendant de cette variable seule : en d'autres termes, P-f-Q« n'a pas de dérivée, en général, par rapport à X -i-yi.

Cauchj particularise les fonctions P et Q de manière que la dérivée existe, c'est-à-dire que le rapport (i) soit indépendant

de -^; la condition d'indépendance est que les coefficienls de

dx et dy, au numérateur et au dénominateur du second membre, soient proportionnels, ce qui donne

OP .dO dP .dO dx o.r dy dy

condition qui se dédouble, en séparant le réel de l'imaginaire :

^ ^ dx "^ dy ^ dy dx

Si ces deux relations fondamentales sont vérifiées pour tous les points x^ y situés dans une région R du plan, la fonction P -h Q/ aura, dans R, une dérivée par rapporta z=:-X'^yi\ la valeur de celle dérivée s'obtient en faisant rf^=: o, par exemple, dans (i),

Une fonction de x-^-yi, dans le sens de Cauchy, se nomme fonclion analytique.

Remarque. — Deux fonctions analytiques de z qui ont même dérivée ne diffèrent que d'une constante. Car, si P-l-Q/ et R-j-S/ sont ces deux fonctions, on a, par hypothèse, en vertu de (3),

dx dx dx ~~ dx

et, en tenant compte de (2),

ày ^ Oy' 'ày ~"dy'

ce qui montre immédiatement que les difTérences P — R et Q — S sont indépendantes de x et y^ c'est-à-dire sont des constantes absolues.

156. Ainsi, d'après cela, P-f- Q« n'est une fonction de z que si les relations (2) sont vérifiées; il en résulte qu'on ne peut choisir arbitrairement ni P, ni Q, car en dérivant les identités (2) par rapport à j^ et a; on a

dxdy

d'où

et de même

ày"^ dx dy

ôx^ '

dx^ ' ùy^ "" ^'

dx* dj

Les fonctions P (ou Q) de deux variables indépendantes x et y, qui vérifient cette relation difierentieile, sont dites /onctions harmoniques.

157. Exemples de fonctions analytiques. — Nous avons, au n° 139, introduit la fonction 5", ou (x -h iy)", pour n entier et positif, en posant

xf* -x'*-^y^-h,,.

■+-i\n xn-^y ^ ;— ' x'^-^y^ -1- . . . .

La fonction ainsi définie est une fonction analytique de 2, car

on vérifie immédiatement que P et Q (c'est-à-dire les deux fonc-

. tions entre crochets) satisfont aux relations fondamentales (2).

On aurait pu encore le voir autrement en observant que la fonction {x-^iyY a une dérivée par rapport à 5, c'est-à-dire que le rapport

{x -^ iy -\- dx -\- i dy )'» — (x -^ iy )« dx -r- i dy