CHAPITRE VI. — FONCTIONS DUNE VARIABLE IMAGINAIRE. l

tend vers une limite indépendante de y» à savoir

De même ->•••> — (n entier) sont des fonctions analeptiques

de z (*), et aussi plus généralement la fonction de fonction

y [0(5)], en désignant par/(2) et ©(5) des fonctions analytiques

de z : car on vérifie, comme dans le cas des variables réelles (^),

qucy"[»(j:-h£y)] a une dérivée indépendante de -i^> à savoir /çol.

La définition de z" implique celle d^un polynôme entier en z et celle d'une série de puissances; ces séries, et en particulier les fonctions e', sin^, cos^, sont donc des fonctions de z dans le sens de Cauchy.

158. Fonction logarithmique. — On reconnaît de même que la fonction inverse d'une fonction analytique, y(2), est aussi une fonction analytique, c'est-à-dire que, si l'on pose

u est fonction analytique de z. En efi*el, le rapport -^ tend,

I I I ( JT — i y)"

(') La fonclion — = : est définie par — = — •

^ z" {x-i-iy)'* ^ z" {x'-r-j'y

(•) En effet, posons à*où

augmentons z de dz. On a, puisque u a une dérivée,

Am = rfz[9'(5) -f-8];

et, puisque /( II) a une dérivée,

Ai'= AM[/'(M)-f-8'],

d*où, en éliminant Au, et, k la limite,

Wm-r: =r/'(u)o'{z). C.Q.F.D.

ctz

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

puisque/* est fouclion analytique de a, vers la limite déterminée /'(u), et par suite le rapport inverse, — ' tend vers yr^ — r» c'està-dire que u admet, par rapport à ^, une dérivée parfaitement déterminée.

Par définition, on appelle logarithme de z la fonctioa inverse de e-, c'esl-à-dire liée à z par la relation

Pour mettre log^ sous la forme P + Q/, posons

z = p(coso -4- isins);

s est le module, et ^ l'argument de^, ou plutôt un quelconque de ses arguments, car ceux-ci diffèrent entre eux de 27:. On a ainsi

p(coso -4- i sino) = e'*"*"Q'= e'*(cosQ -+- 1 sinQ),

iroù, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires,

( p coso = tfPcosQ, ( p sin ç = c'*sinQ.

On en déduit

p»=c*P d'où o = e^\

car p est essentiellement positif. Cela donne la valeur de P :

P = logp,

logo désignant le logarithme arithmétique (népérien) de p. Les équations (4) deviennent alors

d ou

Q = o -+- 2A- (A entier ).

Donc, enfin,

( 5 ) log 5 = P -h Q « = log p -+- f7 o -h i A 7: ).

Le logarithme a donc une infinité de valeurs distinctes, qui diffèrent entre elles de 27: i. Si z est réel et positif, un de ses arguments, (p, est nul, et, en prenant A==o, on volt que le logarithme a une valeur réelle, c'est le logarithme arithmétique; si z est négatif ou Imaginaire, toutes les valeurs de son logarithme sonl imaginaires.