iz = log( — I

Comme — i = cos- -f- i sinic, le module de — i est -f- 1 , et un de ses arguments, '^, est tt; donc, d'après (5),

log(— i) = i(r -f- ikTz)j ciy finalement,

d'où

formule qui donne lieu à la même remarque que la précédente.

2° Cherchons de même les zéros de la fonction exponentielle, e^.

La relation

montre que z est le logarithme de zéro, et réciproquement; le logarithme arithmétique de zéro étant — oo, et l'argument <p de zéro étant indéterminé, on a, pour les zéros de e*, la formule

159. On démontre sans difficulté que log^ jouil des mêmes propriétés que les logarithmes réels. Ainsi, si Ton a

z'=ie^o%z^

l56 PREMIÈIŒ PARTIK. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on aura (n" 149)

d'où

log(55') = log-8-4- \oç;z'-\- lA'Tzi,

La dérivée de \ogz sera -; il suffll, pour le voir, de dériver par

rapport à >s la relation de définition 5 = e'°'^, ce qui donne, en appliquant la règle de dérivation d'une fonction de fonction (n« lo7),

d'où

Comme corollaire, on voit, en appliquant la même règle, que la

f'(z) dérivée de log/(>3),/(>s) étant une fonction analytique, est''--^^^-

160. Fonction z^, — On définira 5", pour n quelconque (réel ou imaginaire) par la relation

qui a lieu, d'après le corollaire 3° du n® li9, lorsque n est entier, puisque z = e'**'*.

Soit toujours

z = z( cos o -I- / si n î5 ) ;

il vient dans (6), en remplaçant logG par sa valeur (5), Si n est réel, on peut écrire

o" désignant la valeur positive de la puissance n**"* du module. D'après cela, 5" a des valeurs différentes qu'on obtient en multipliant Tune d'elles par e'*"'^'. Si n est réel et entier, e***"^' est égal à l'unité, quel que soit l'entier A, et s" n'a qu'une valeur;

si n est une fraction irréductible, n= -9 z'' aura a valeurs dis-

tinctes, obtenues en donnant à Ar, dans (8), les valeurs o, i, . . ., (q — 1); si n n'est ni entier ni fractionnaire, -5" aura une infinité