CHAPITRE I. — GENERALITES; DIFFERENTIELLES

Nous dirons que t\ est un module de conlinuilé correspondant à la valeur Xq et au nombre e.

La fonction /{x) est dite continue entre x^=a et x = by si elle est continue pour toutes les valeurs de Xq comprises entre a et b; elle est dite continue dans le même intervalle, extrémités comprises, si la propriété définie par (2) subsiste pour XQ=^a et x^= 6, en ne prenant, bien entendu, pour x que des valeurs comprises entre a et b.

Ces définitions s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions réelles el déterminées de plusieurs variables indépendantes.

Ainsi la fonction y*(^,^') sera continue pour x = Xq, y=zyQ si, étant donné e, on peut assigner y| tel que Ton ait

(4) inod[/(a7,^)-/(aro,Jo)]<î, c.-à-d. /(ar,^) =/(a:o,^o)^-6£,

pour toutes les valeurs de x comprises entre J?^ — yj elx^-\-r^j et loutes celles de y comprises entre j'o — *^ et J^o-l- ^1 (les valeurs extrêmes incluses).

Géométriquement , si M^ est le point de coordonnées rectangulaires (xo, j^o)? cela revient à dire qu'étant donné e, on peut trouver un carré R, de centre Mq et de côtés parallèles aux axes, tel que, pour tout point (a:,j/') de ce carré (côtés compris), la différence entre /(x,^) et/(^o> J^o) soit, en valeur absolue, inférieure à £. Le côté du carré R est 2.t\.

Nous dirons encore que y, est un module de continuité pour le point (j:0,j^o) et pour le nombre e.

La fonction f{x^y) sera continue dans une région A du plan si elle est continue pour tous les systèmes x^y de cette région; elle sera continue dans A, contour compris, si la propriété définie par (4) subsiste encore pour tout point x^^y^ du contour, en ne prenant alors pourx,^ que les points du carré R ci-dessus, intérieurs à Taire A.

Les fonctions continues jouissent de propriétés importantes qui vont être démontrées; on établira d'abord un lemme géométrique qui sera souvent utile.

4. Lemme de la décomposition des carrés. — Soit, dans un plan, un carré Q, de côtés parallèles aux axes de coordonnées;

6 PEEMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

décomposons-le en quatre carrés égaux Qi, Q', , Q* , Q7 'par des parallèles aux axes issues de son centre, et choisissons arbitrairement un des nouveaux carrés, Qi par exemple. Décomposons-le de même en quatre carrés égaux, et choisissons arbitrairement Tun d'eux, Qs. En continuant ces décompositions, nous obtenons une suite illimitée de carrés, Q, Qi, Q^, ... dont chacun comprend le suivant, et dont les côtés peuvent devenir aussi petits que l'on veut : je dis que ces carrés ont pour limite un point, intérieur à chacun d'eux.

Considérons en cfTet, sur l'axe des x^ les deux points qui sont les abscisses des quatre sommets d'un carré; ils limitent un segment, et chacun des segments ainsi obtenus comprend le suivant, dont il est le double. Les abscisses des extrémités supérieures des segments ne croissent jamais et restent plus grandes que Tabscisse d'une quelconque des extrémités inférieures; les abscisses de celles-ci ne décroissent jamais et restent plus petites que les précédentes. Chacune des deux séries d'abscisses lend donc vers une limite, et les deux limites sont les mômes, puisque la longueur des segments peut devenir inférieure à toute quantité donnée. Soit x^ l'abscisse limite ainsi obtenue ; on établit de môme l'existence d'une ordonnée limite analogue y^^ et dès lors les carrés considérés plus haut ont pour limite le point (^oj^o)j <1"^ d'après la défînition môme de Xq et de Joî ^st a l'inlérieur de chacun d'eux.

Un lemme semblable s'appliquerait à la décomposition d'un cube en huit autres cubes égaux, par des plans parallèles aux faces et issus du centre.

5. Théorème. — Une fonction continue dans une région finie A, contour compris^ est limitée supérieurement et inférieurement dans cette région.

Observons d'abord qu'une fonction f{x^y)^ de deux variables par exemple, continue dans une aire fînie A, est limitée dans un carré, de côtés parallèles aux axes, ayant pour centre un point quelconque (^o? J'o) ^^ Taire A ou de son contour (*) : il suffit en

(') Il s'agît, bien entendu, de la portion du carré, pcriiiièire compris, qui appartient à Taire A ou à son contour. Cette remarque s'applique à tout ce qui suit.