H. II

l62 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de z, varie de o^ à — (9.7: — <^). et l'on a pour la valeur finale :

logZ — lofçP -i- M <^ — 2 7:).

Ces deux valeurs do logZ ne sont pas les mêmes; elles difTèrent de 2Tzi.

Il y a ainsi des fonctions de z qui prennent en un point du plan des valeurs dilférenlcs selon le chemin suivi par la variable; c'est ce qui explique Tutilité de la définition suivante.

163. Déânition. — On dit qu'une fonction /(z) est mono- (Ironie (ou uni/orme) dans une région R du plan, lorsque le point z, de coordonnées x^y^ étant assujetti à rester dans celte région, la fonction prend en chaque point une valeur unique, indépendante du chemin suivi par le point z.

En particulier, si z décrit une courbe fermée, la fonction monodrome u =/(^z)^ revient au point de départ avec sa valeur initiale. Réciproquement, si elle jouit de cette propriété pour toutes les courbes fermées tracées dans R, elle est inonodrome dans cette région-, qu'on décrive, en effet, le chemin ZQaz ( fig, 46)

Fi g. /|»3.

en partant de Zq avec la valeur Uq de la fonction, on arrive en z avec une valeur a; et si Ton décrit ensuite le chemin zbz^y on arrive en <3o, par hypothèse, avec la valeur u^. Si maintenant on rétrogr:i<lp de Zq en z suivant z^O z, la fonction repasse en chaque point par la même valeur que toutàTheure et, par suite, acquiert en ;; la valeur u. En d'autres termes, les deux chemins Zoaz et Znhz, décrits avec la valeur initiale Wq, conduisent en ^ à la même valeur u de la fonction. c. q. f. d.

164. Exemples. — Donnons maintenant quelques exemples. 1" Les polynômes entiers en 3, les fractions rationnelles (que-