CHAPITRE VI. — FONCTIONS D*UNE VARIÂBLK IMAGINAIRE. l

lients de deux polynômes entiers), les fonctions e^, sin3, coss,

iang^, sont monodromes dans tout le plan; en eOet, elles n^ont

en un point du plan qu'une seule valeur, et c'est toujours à cette

valeur que l'on arrivera, quel que soit le chemin suivi par le

point z.

2" La fonction ^z n'est pas monodrome dans toute région comprenant le point z = Oy c'est-à-dire l'origine. En effet, si l'on pose

z = p (coscp -h i sincp) rrr pe^9j on aura [n° 160, équation (8)], pour la valeur de ,3^, ou ^Zy

'o étant un des arguments, tp© -H aA'îu, de z.

Si le point z {/ig» 47) décrit, dans le sens positif, un contour

fermé entourant l'origine, l'argument cp, de z, varie d'une manière

continue et augmente de 2tc; par suite, \/z varie d'une manière continue et revient au point de départ avec la valeur

1 9-*nt

pie * = p*c * c'^= p*c * (cosiT -- I sinir) = — p*e «.

En d'autres termes, ^^z change de signe quand z décrit un contour fermé contenant l'origine; ^z reprendrait la même valeur au point de départ si z décrivait deux fois le contour.

3" Plus généralement, la fonction (z — a)'", où m n'est pas entier, n'est pas monodrome dans toute région comprenant le point z = a. Car si l'on pose

z — a ~" p(cos© -f- t sincp) = pc'9,

on aura (n" 160), en supposant m réel,

'O désignant un des arguments, Ço-f-aA-T:, de - — a, et p'» la valeur positive de la puissance m'*""® du module.

Si :; {Jig' 48) décrit, dans le sens positif, un contour fermé

Fig. 48.

entourant le point «, l'argument <p de z — a augmente de 211, et (:; — a)*", qui a varié d'une manière continue, revient au point de départ avec la valeur

La fonction (3 — a)"' se reproduit donc multipliée par e^'"'^', quantité diflerente de i , puisque m n'est pas entier.

Au contraire, {z — (^Y^^fig* 49) est monodrome à rintérieur

Fig- 49-

d'une région limitée par une courbe fermée ne contenant pas le point a, car si z décrit cette courbe, ou une courbe intérieure, l'argument de 5 — a reprend sa valeur initiale quand on revient au point de départ.

Mais il est essentiel d'ajouter que la courbe fermée qui limite la région doit être à contour simple, c'est-à-dire doit pouvoir élre décrite d'un seul trait; en effet, dans une région limitée par