CHAPITRE VI. ' - FONCTIONS D L'NE VARIABLE IMAGINAIRE

deux courbes fermées entourant le point a {/ig» 5o, partie non ombrée), la fonction {z — a)'" n'est pas monodroine, car, en restant dans cette région, le point z peut tourner autour du

Fi g. 5o.

point «, de sorte qu'on revient au point de départ avec une valeur de {z — a)'^ différente de la valeur initiale.

Le point a est dit critique pour la fonction [z — a)"*, quand m n'est pas entier.

4" La fonction \/{z — rt)(^ — ^)(^ — <^)î produit des trois radicaux sjz — a, \/z — 6, sjz — c, n'est pas monodrome dans une* région qui comprend un des points a, 6, c\ elle l'est à Tintérieur d'un contour simple ne contenant aucun de ces points. Elle est

Fij;. 5i.

également monodrome dans la région (non ombrée) limitée par deux courbes fermées entourant chacune deux des points a, 6, c (région à contour complexe) {Jig. 5i); car, en restant dans cette région, on ne peut tourner autour de a sans tourner en même

temps autour de 6, de sorte que, lorsqu'on revient au point de départ, les deux radicaux \^z — a eV\ z — b ont changé simultanément de signe ou n'ont pas changé. Le troisième radical \/z — c reprenant sa valeur initiale, puisque c est en dehors de la région considérée, la proposition est établie.

La fonction \\z — «X** — '0(^ — ^) ^^'^st pas monodrome dans une région limitée par deux courbes fermées contenant chacune un (ou trois) des points a, 6, c\ car ce n'est pas une région à contour simple, et, sans en sortir, le point z {fig^ 5si) peut tourner

Fig. 5i.

autour de a seul, de sorte que la fonction, quand on revient au point de départ, a changé de signe.

5" La fonction log^ n'est pas monodrome dans toute région qui comprend le point ^ = o (origine); on a en elTet, en posant :; = p^'^j

l0g5 = logp -r- l«p,

'^ étant un des arguments de z.

Si donc z fait un tour dans le sens positif, autour de l'origine, cp augmente de s».?: et log:; augmente de iizi. Si z fait un tour autour de O dans le sens négatif, loge augmente de — 'iizi.

Au contraire, log:; est monodrome à l'intérieur d'un contour simple ne comprenant pas l'origine.

Mêmes conclusions pour la fonction log(e — a) et le point z =z a, qui est son point critique.

Kn résumé, les fonctions telles que (-5 — «)*, (;s — ft)^j(- — c)Y, log(5 — rt), ... sont monodromes dans toute région à contour simple qui ne comprend aucun point critique; sous une autre forme, on peut dire que deux chemins allant d'un point ^o à un point Z conduisent à la même valeur finale de la fonction,