CHAPITRE VI. — FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAIRE
rsqu'on peut déformer le premier d'une manière continue et jns traverser de point critique y de façon à le faire coïncider ^^«c le second.
dCo. Continuité. — On dit que la fonction analytique /(;;) est ntinue pour z^^ Zq lorsque, étant donné un nombre, e, aussi ilit qu'on veut, on peut assigner un nombre tj tel que Ton ait
mod[/(5o-T- A)— /(-So)] < £
pour toutes les valeurs de A dont le module est <C 'f\' C'est la définition qu^on a déjà adoptée pour les séries de puissances. La fonctiony(5) est dite continue dans une région du plan si elle est continue pour tous les points de cette région. Les fonctions^*, sin^, cos^, les polynômes entiers en z sont conlinus dans tout le plan, comme on Ta établi déjà. La fonction tang^ n'est pas con-
linue dans une région comprenant un des points z = (2k H- 1) 7»
où tang 3 devient infinie; elle est continue dans toute autre région. De même log 5 n'est continue que dans une région ne comprenant pas l'origine.
Géométriquement, la définition de la continuité s'interprète comme il suit.
Représentons la variable z^ comme d'ordinaire, sur un plan par
Fif;. 53. Fig. S/j.
JC
le point dont les coordonnées sont la partie réelle et la partie imaginaire de z; représentons de même/(^) sur un autre plan. Du point /{Zq) comme centre, dans le second plan, décrivons un cercle Y, de rayon e; il faut, pour la continuité de f{z) au point .So) qu'on puisse assigner 7» {/ig. 53) tel que, si le point z reste dans le cercle de centre Zq et de rayon vj du premier plan, le point /{z) du second plan reste dans le cercle y {/fg* 54).
166. Séries dont les termes sont des fonctions d'une variable imaginaire. — Soil la série
(S) uiiz) — Ui(z) ^.-. ..-t i/«(5)h-...;
on dit qu'elle est uniformément convergente dans une région 11 du plan si, élanl donné e, on peut assigner un nombre N, fonction de £ seul, tel qu'on ait
pour /î ^ N et pour toutes les valeurs de z dont raffixe est dans la région R {voir le n" 139). On établit, comme dans la remarque du n" 140, que :
Une sih'ie est uniformément convergente dans une région si, dans cette région, tes modules de ses termes sont égaux ou inférieurs aux termes de même rang d^une série numérique convergente, à termes positifs.
Il est clair que la série est aussi absolument convergente dans le même cas.
167. Les séries uniformément convergentes dans une région, et dont les termes sont des fonctions monodromes et continues de z dans la même région, jouissent d'une propriété importante :
Leur somme est une fonction monodrome et continue dans la même région.
Elle est monodrome, car la série converge et chacun de ses termes n'a qu'une valeur pour une valeur de z] je dis qu'elle est continue; il suffit, pour le voir, de reproduire sans changement le raisonnement du n° 141, en remplaçant le cercle de convergence par la ré«;ion de convergence uniforme.
C'est surtout dans le Cours de seconde année que la théorie des fonctions analjti(|ues sera développée; on se bornera ici à ces brèves indications.
