CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES

eflet de prendre pour côté le double, air^, d'un module de continuité correspondant au point (xo, y^) et à un nombre e. Dans ce carré, R, /{x^y) reste comprise enive /{x^^yo) — e et/(a:o,^o) + ^> ^'^^*^" à-dire est limitée inférieurement et supérieurement.

Supposons maintenant (\^^ /{x^ y) ne soit pas limitée supérieurement dans l'aire A, je dis que l'on arrive à une contradiction.

Soit en effet Q un carré de côtés parallèles aux axes contenant toute la région A; divisons-le, par le procédé du n° 4, en quatre carrés égaux. Dans Tun au moins de ceux-ci, Qi, la fonction y(x,j^) ne sera pas limitée supérieurement, sinon elle serait limitée dans le carré total; divisons de même Qf en quatre carrés, et ainsi de suite. Nous formons par là une suite de carrés, Q, Qi, Q2, . . ., dans aucun desquels f{x^ y) n'est limitée supérieurement. Ces carrés ont pour limite (n° 4) un point (^07 J^o)» que je dis appartenir à l'aire A, ou à son contour : autrement, en effet, un des carrés de la série et tous les suivants deviendraient extérieurs à A, ce qui est incompatible avec leur mode de déterminalion. Or les carrés Q/, ayant le point (^o> y a) pour limite, finiront, à partir de l'un d'eux, par rester intérieurs au carré R, de côté 27^, défini plus haut, qui admet ce point pour centre : il est dès lors contradictoire que f{x^ y) soit limitée supérieurement dans le carré R, et ne le soit dans aucun des carrés Q/.

Une démonstration analogue établit que f{x^ y) est limitée inférieurement; la décomposition en cubes étend le raisonnement à une fonction de trois variables indépendantes.

6. Théorème. - Une fonction continue dans une région finie, contour compris^ a, dans cette région, un maximum et un minimum, atteints effectivement.

En effet, d'après le théorème précédent, la fonction f{x^ y) est, dans la région A, limitée supérieurement, c'est-à-dire reste inférieure à un nombre fini; par suite, en vertu du théorème du maximum (n® 2) les valeurs àe /{x, y), dans A, admettent un maximum M, atteint ou non atteint. Je dis qu'en le supposant non atteint, on arrive à une contradiction.

Reprenons en effet le carré Q du numéro précédent, et décom-

posons-le en quatre autres : dans Tun au moins de ceux-ci, Qi, f{x^y) admettra M comme maximum non atteint, sinon elle ne l'admettrait pas comme tel dans Q. En poursuivant, on forme ainsi une série de carrés, Q/, tendant vers un point (^07 J^o)i dans chacun desquels /(a;, ^) admet M comme maximum non atteint, c'est-à-dire prend des valeurs inférieures à M, mais aussi voisines de M qu'on veut. Les carrés Q/ finissant par être intérieurs au carré R, de centre (^o> yù)t ^i*' répond au nombre s, la fonction y(x,^) ne peut y prendre que des valeurs comprises entre fi^Q^y^) — ^ ^^ f{^ùi y^i)-^ ^' En d'autres termes, des valeurs inférieures à M, mais aussi voisines de M qu'on veut, sont aussi voisines qu'on veut de /(^o>JKo) • i' en résulte nécessairement que M est égal à /(xo, yo)^ c'est-à-dire que le maximum est atteint au point (xo,jKo)î résultat en contradiction avec l'hypothèse.

Une démonstration pareille s'applique au minimum.

7. Théorème. — Une fonction^ continue dans une région finie, contour compris, et qui est négative en un point de cette région, positive en un autre, s^ annule dans la région.

Supposons que /(x, y) soit négative pour [x^ ^ y\) et positive pour (j^j, ^2); décomposons en quatre carrés le carré Q qui contient la région donnée A. Je dis que, dans l'un au moins des carrés nouveaux, contour compris, la fonction f{oc^ y) prend des valeurs positives et des valeurs négatives. Imaginons en effet que dans chaque carré, contour compris, la fonction garde un signe constant, c'est-à-dire qu'il y ait des carrés positifs et des carrés négatifs, et joignons le point (.Ti, y^) au point {x.^^ y^) par une ligne quelconque, tout entière dans l'aire A (*) : cette ligne passera au moins une fois d'un carré négatif à un carré positif, de sorte que la valeur de f(x^y), au point où la ligne passe d'un carré dans l'autre, sera à la fois négative et positive, c'est-à-dire

(•) On suppose ici que l'aire A est d'un seul tenant, c'est-à-dire que l'on peut joindre un point quelconque de cette région à un autre point quelconque par une ligne continue sans sortir de la région. Ainsi l'aire comprise entre deux cercles concentriques est d'un seul tenant; au contraire, les aires de deux cercles extérieurs l'un à l'autre forment une région qui n'est pas d'un seul tenant.