CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. iy

175. Développement suivant les puissances décroissantes de x. — Nous avons supposé jusqu'ici que x était un infiniment petit, et nous avons cherché des développements, applicables à des valeurs très petites de ^, et ordonnés suivant les puissances croissantes de cette variable.

Si au contraire x est un infiniment grand, on posera x= -; z sera un infiniment petit, et la fonction ^^ =y*(:c)r=: y | - j pourra

eHre développée, par les méthodes précédentes, suivant les puissances croissantes de -3 :

d'où, en faisant a = — m,

ce qui donne un développement de >' suivant les puissances décroissantes de rinfiniment grand x.

Bien entendu, un tel développement n'est pas toujours possible; par exemple, pour rexponcnlielle e^, on ne saurait avoir

car m devrait être plus grand que zéro, puisque e^=QO pour j: infini; il viendrait alors

ce qui est absurde, puisque le premier nïcmbre tend vers l'infini pour X infini, tandis que le second membre reste fini. De même on ne peut avoir

logx = Ar'«-i- Bot"»-' -t-. . ., car m serait positif, et il viendrait

ce qui est impossible, car pour x = ao le premier tend vers zéro, quelque petit que soit m, et le second membre tend vers A.

176. Certaines expressions ne sont commodément développables qu'après un changement de variable; voici deux exemples :

I ° Soit à développer ( i H — j suivant les puissances croissantes

de -• n

Désignons cette fonction par y\ pour n ^=(X>j y est égal à e^; c'est la valeur principale. Pour obtenir les termes suivants, prenons les logarithmes, et appliquons la formule du développement de log(i H- w), établie au n" 161,

(cr \ / X .77^ x^ \

nj \n iii*- 3/1' /

in 3/1* 4^1

On a ainsi le développement de logj^ On en déduira celui de^^

par la formule

en posant

d'où

Si Ton veut s'arrêter aux termes en —, inclus, on ne poussera

pas plus loin que —^ dans le crochet, et l'on aura

'~"27ï"^37r*"~47r3~^ÏV47ïï"37Ï3/6 8n»J"^"" •

les termes négligés étant au moins d'ordre 4 par rapport à -•

!>," On développera d'une manière analogue j^ = n(y/x — i) suivant les puissances croissantes de -; on écrira

Il '2 î li

ûx — e" = \ -r ,