CHAPITRE VII. — DEVELOPPEMENTS EN SERIE. I

d'où

177. Remarque. — Les séries de Taj-lor et de Maclaurin n'ont été établies jusqu'ici que pour les fonctions de variables réelles; c'est seulement dans le Cours de seconde année qu'on les étendra aux fonctions de variables imaginaires : jusqu'à nouvel ordre, les développements ci-dessus ne sont applicables que dans le domaine réel. La question de leur convergence est également réservée pour une étude ultérieure.

178. Développement des fonctions implicites. — Nous indiquerons la méthode à suivre sur des exemples.

L Soit une équation, f{x^ y) = o, ayant, pour x = Xo, une et une seule racine y égale ^ y^] on demande de développer cette racine suivant les puissances croissantes de x — Xq, Il est clair qu'en posant x — jCo = X ely — y^ = Y, on ramène ce cas à celui où jTo = o et j^o = o î soit alors, par exemple, l'équation

yz^xy -^y— 2.r*= o,

qui, pour ;r=:o, a une et une seule racine nulle. Cette racine,^, est infîniment petite avec x^ et l'on voit immédiatement sur l'équation que sa valeur principale est ix^\ car les termes y^ et — xy sont infiniment petits devant le terme enjK? de sorte que la valeur principale du premier membre de l'équation est^ — o^x^ (*). On

peut donc poser

z s'annulant pour x = o, et Féquation devient, après suppression du facteur x^,

elle a, en 5, une racine nulle pour x = o. On reconnaît de suite, comme tout à l'heure, que la valeur principale de celte racine est 2JC, et l'on peut poser

5 = xi'l -f- ;),

(') Le succès de ce raisonnement lient à ce que Téqualion contient un terme en y : or, l'existence de ce terme résulte nécessairement de l'hypothèse que, pour j; = o, il y a une seule racine^ nulle.