II

^ s^anniilant pour ^ = o. On formera alors l'équation Ç, et ainsi de suite, ce qui donnera, en remontant la série des calculs, le développement cherché de la racine y :

II. Si, pour ^ = 0, Téquation proposée a h racines y égales à zéro, le terme de moindre degré en y qui reste dans Téquation, après que Ton a fait x = o, est un terme eny^; on ne peut plus alors, comme dans le cas précédent, indiquer immédiatement les deux termes qui constituent la valeur principale du premier membre.

Soit par exemple l'équation

qui, pour x = o, B. trois racines nulles.

Si a désigne Tordre de l'une d'elles par rapport à l'infiniment petit .r, posons

At'tmt une constante ^o et 5 s'annulant pour x = o. Il s^agit d'abord de déterminer a et A. Portons la valeur (a) de ^ dans (i); il vient

( 3 ) x^^(X-^zy — x^^^ ( A -T- -3 ) H- ar' = o.

Dans le premier membre, les termes du degré minimum en x sont évidemment compris parmi ceux de la somme

et je dis d'abord qu'il doit y avoir au moins deux termes du degré minimum. Car, s'il n'y eu avait qu'un, son coefficient devrait être nul, puisque le premier membre de (3) doit s'annuler identiquement quand on y remplace z par son développement en ^; or aucun des termes de la somme (4) ne peut avoir son coefficient nul, puisque A est supposé ^o. Il faut donc qu'il y ait, dans (4), au moins deux termes du degré minimum (se détruisant entre eux) ; c'est â-dire que : 1° deux des exposants 3a, a-+-i , 3 doivent être égaux entre eux, et 2^ être inférieurs (ou au plus égaux) au troisième.

3x = a -hi,